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ÉCLAIRCISSEMENT

D’UNE DIFFICULTÉ SINGULIÈRE

QUI SE RENCONTRE

DANS LE CALCUL DE L’ATTRACTION DES SPHÉROÏDES
TRÈS-PEU DIFFÉRENTS DE LA SPHÈRE.

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(Journal de l’École Polytechnique, XV^e Cahier, t. VIII, 1809.)

D’Alembert est le premier qui ait donné le calcul de l’attraction des sphéroïdes non elliptiques, mais peu différents de la sphère, dans le second et le troisième volume de ses Recherches sur le système du Monde. M. Laplace a traité ensuite cette matière d’une manière nouvelle et plus générale qu’on ne l’avait fait, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1782, et dans le second volume de sa Mécanique céleste. Sa théorie est fondée sur un beau théorème très-remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité ; mais ce théorème donne lieu à une difficulté singulière, qui paraît n’avoir encore été remarquée par personne, et qui mérite d’être examinée.

1. Soient, comme dans les Mémoires de 1782 (page 134) et dans la Mécanique céleste (tome II), $r$ la distance du point attiré au point pris pour centre du sphéroïde, $\theta$ l’angle que le rayon $r$ fait avec un axe fixe passant par le centre, $\varpi$ l’angle que le plan passant par cet axe et par le rayon $r$ fait avec le plan invariable passant par le même axe ; soit, de plus, $\mathrm {R}$ la distance d’une molécule du sphéroïde au centre, et soient $\theta ',$