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dans laquelle il faut faire maintenant $r=a,$ ce qui la réduit à celle-ci

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y,$

comme dans les cas où $y$ est constant.

Il est bon de remarquer qu’une nouvelle intégration par parties, exécutée sur la différentielle ${\frac {dy'}{d\mu }}\rho d\mu ,$ n’ajouterait rien à l’équation que nous venons de trouver ; car, l’intégrale de $\rho d\mu$ étant

$-{\frac {1}{ar\rho }}=-{\frac {\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}{ar}},$

il n’en peut résulter aucun terme où le facteur $r-a,$ qui devient nul lorsque $r=a,$ soit détruit par la division.

10. Maintenant, puisque $\mathrm {V} ={\frac {4\pi a^{3}}{3r}}+u$ (2), on aura

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {2\pi a^{3}}{3r}}-{\frac {4\pi a^{4}}{3r^{2}}}+{\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}\,;$

faisant $r=a(1+y)$ pour avoir l’attraction sur un point à la surface du sphéroïde, on aura

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2\pi a^{2}y+{\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}},$

en négligeant les $y^{2}.$ Mais nous venons de trouver

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y\,;$

ainsi l’on a, aux quantités du second ordre près,

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}},$

comme M. Laplace l’a trouvé. Au reste, il est bien remarquable que le terme $2\pi a^{2}y,$ dû à l’action de la sphère sur un point élevé au-dessus