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9. Commençons par l’intégration relative à $\mu \,;$ la différentielle $y'\rho ^{3}d\mu ,$ intégrée par parties, donne

$y'\int \rho ^{3}d\mu -\int {\frac {dy'}{d\mu }}\left(\int \rho ^{3}d\mu \right)d\mu .$

Or

$\rho ={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}},$

donc

$\int \rho ^{3}d\mu ={\frac {\rho }{ar}},$

de sorte que l’intégrale dont il s’agit deviendra

${\frac {y'\rho }{ar}}-\int {\frac {dy'}{d\mu }}{\frac {\rho d\mu }{ar}}.$

Comme l’intégration doit s’étendre depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ et qu’à la première de ces limites $y'$ devient $y,$ si l’on nomme $\mathrm {Y}$ ce que $y'$ devient à la seconde limite, la valeur complète du terme ${\frac {y'\rho }{ar}}$ hors du signe sera

${\frac {\mathrm {Y} }{ar(r+a)}}-{\frac {y}{ar(r-a)}}.$

Or, $y$ et $\mathrm {Y}$ répondant à $\psi =0$ et $\psi =\pi ,$ à cause de $\mu =\cos \psi ,$ auxquels cas $\varpi '$ et $\theta '$ deviennent $\varpi$ et $\theta ,$ il est visible que ces quantités seront indépendantes de $\varphi \,;$ ainsi l’intégration relative à $\varphi ,$ depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =2\pi ,$ exécutée sur le même terme, donnera

${\frac {2\pi \mathrm {Y} }{ar(r+a)}}-{\frac {2\pi y}{ar(r-a)}}.$

On pourra donc substituer dans l’équation en $u$ dun^o 6, à la place de $\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '$ la quantité

${\frac {2\pi y}{ar(r-a)}}-{\frac {2\pi \mathrm {Y} }{ar(r+a)}}+\iint {\frac {dy'}{d\mu }}{\frac {\rho d\mu d\varphi }{ar}},$

ce qui la changera en celle-ci

${\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {a^{2}\pi (r+a)y}{r}}+{\frac {a^{2}\pi \mathrm {Y} (r-a)}{r}}-{\frac {a^{3}\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2ar}}\iint {\frac {y'}{\mu }}\rho d\mu d\varphi ,$