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Comme le rapport de $86400$ à $20929$ est exprimé en termes fort grands, on propose de trouver en des termes plus petits des rapports aussi approchés de celui-ci qu’il est possible.

On réduira donc la fraction ${\frac {86400}{20929}}$ en fraction continue par la règle donnée dans le n^o 4, qui est la même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés on aura

${\begin{array}{r|r|l}20929&86400&4=\alpha \\&{\underline {83716}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}2684&20929&7=\beta \\&{\underline {18788}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}2141&2684&1=\gamma \\&{\underline {2141}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}543&2141&3=\delta \\&{\underline {1629}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}512&543&1=\varepsilon \\&{\underline {512}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}31&512&16=\zeta \\&{\underline {496}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}16&31&1=\eta \\&{\underline {16}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}15&16&1=\theta \\&{\underline {15}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}1&15&15=\iota \\&{\underline {15}}&\end{array}}$

$0.$

Connaissant ainsi tous les quotients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on en formera aisément la série $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}}} ,\ldots ,$ de la manière suivante

${\begin{array}{ccccccccc}4,&7,&1,&3,&1,&16,&1,&1,&15,\\{\frac {4}{1}},&{\frac {29}{7}},&{\frac {33}{8}},&{\frac {128}{31}},&{\frac {161}{39}},&{\frac {2704}{655}},&{\frac {2865}{694}},&{\frac {5569}{1349}},&{\frac {86400}{20929}},\end{array}}$

où l’on voit que la dernière fraction est la même que la proposée.

Pour faciliter la formation de ces fractions, on écrira d’abord, comme