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je viens de le faire, la suite des quotients $4,7,1,\ldots ,$ et l’on placera au-dessous de ces coefficients les fractions ${\frac {4}{1}},{\frac {29}{7}},{\frac {33}{8}},\ldots ,$ qui en résultent.

La première fraction aura toujours pour numérateur le nombre qui est au-dessus, et pour dénominateur l’unité.

La seconde aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la première, plus l’unité, et pour dénominateur le nombre même qui est au-dessus.

La troisième aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la seconde, plus celui de la première ; et de même pour dénominateur le produit du nombre qui est au-dessus par le dénominateur de la seconde, plus celui de la première.

Et, en général, chaque fraction aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la fraction précédente, plus celui de l’avant-précédente, et pour dénominateur le produit du même nombre par le dénominateur de la fraction précédente, plus celui de l’avant-précédente.

Ainsi

$29=7.4+1,\quad 7=7,\quad 33=1.29+4,\quad 8=1.7+1,$

$128=3.33+29,\quad 31=3.8+7,$

et ainsi de suite ; ce qui s’accorde avec les formules du n^o 10.

Maintenant on voit, par les fractions ${\frac {4}{1}},{\frac {29}{7}},{\frac {33}{8}},\ldots ,$ que l’intercalation la plus simple est celle d’un jour dans quatre années communes, ce qui est le fondement du Calendrier julien ; mais qu’on approcherait plus de l’exactitude eh n’intercalant que sept jours dans l’espace de vingt-neuf années communes, ou huit dans l’espace de trente-trois ans, et ainsi de suite.

On voit de plus que, comme les fractions ${\frac {4}{1}},{\frac {29}{7}},{\frac {33}{8}}$ sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction ${\frac {86400}{20929}}$ ou ${\frac {24^{\text{h}}}{5^{\text{h}}48^{\text{m}}49^{\text{s}}}},$ l’intercalation d’un jour sur quatre ans sera trop forte, celle de sept jours survingt-neuf ans trop faible, celle de huit jours sur trente-trois ans trop forte, et ainsi de suite ; mais chacune de ces intercalations sera toujours la plus exacte qu’il est possible dans le même espace de temps.