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jour sur quatre années, ou de huit jours sur trente-trois ans, ou de trente-neufjours sur cent soixante et un ans, et ainsi de suite.

Considérons maintenant les fractions décroissantes

${\begin{array}{cccc}7,&3,&16,&1,\\{\frac {29}{7}},&{\frac {128}{31}},&{\frac {2704}{655}},&{\frac {5569}{1349}},\end{array}}$

et d’abord, à cause du nombre $7$ qui est au-dessus de la première fraction, on pourra en placer six autres avant celle-ci, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique $4+1,\ 2.4+1,\ 3.4+1,\ldots ,$ et dont les dénominateurs formeront la progression $1,2,3,\ldots \,;$ de même, à cause du nombre $3,$ on pourra placer entre la première et la seconde fraction deux fractions intermédiaires, et entre la seconde et la troisième on en pourra placer quinze, à cause du nombre $16$ qui est au-dessus de la troisième ; mais entre celle-ci et la dernière on n’en pourra insérer aucune, à cause que le nombre qui est au-dessus est l’unité.

De plus il faut remarquer que, comme la série précédente n’est pas terminée par la fraction donnée, on peut encore la continuer aussi loin que l’on veut, comme nous l’avons fait voir dans le n^o 18. Ainsi l’on aura cette série de fractions décroissantes

${\frac {5}{1}},\ {\frac {9}{2}},\ {\frac {13}{3}},\ {\frac {17}{4}},\ {\frac {21}{5}},\ {\frac {25}{6}},\ {\frac {29}{7}},\ {\frac {62}{15}},\ {\frac {95}{23}},\ {\frac {128}{31}},\ {\frac {289}{70}},\ {\frac {450}{109}},\ {\frac {611}{148}},\ {\frac {772}{187}},\ {\frac {933}{226}},\ {\frac {1094}{265}},$

${\frac {1255}{304}},\ \ {\frac {1416}{343}},\ \ {\frac {1577}{382}},\ \ {\frac {1738}{421}},\ \ {\frac {1899}{460}},\ \ {\frac {2060}{499}},\ \ {\frac {2221}{538}},\ \ {\frac {2382}{577}},\ \ {\frac {2543}{616}},$

${\frac {2304}{655}},\ \ {\frac {5569}{1349}},\ \ {\frac {91969}{22278}},\ \ {\frac {178369}{43207}},\ \ {\frac {264769}{64136}},\ \ {\frac {351169}{85060}},\ \ {\frac {437569}{105994}},\ \ \ldots ,$

lesquelles sont toutes plus petites que la fraction proposée, et en approchent plus que toutes autres fractions qui seraient conçues en termes moins simples.

On peut conclure de là que, si l’on ne voulait avoir égard qu’aux intercalations qui pécheraient par défaut, les plus simples et les plus exactes seraient celles d’un jour sur cinq ans, ou de deux jours sur neuf ans, ou de trois jours sur treize ans, etc.