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Ces formules pourront donc être d’usage lorsque la parallaxe de l’astre $\mathrm {C}$ sera nulle, comme cela a lieu pour les étoiles fixes, ou du moins lorsqu’elle sera si petite qu’on croira pouvoir la négliger c’est le cas du Soleil dans un grand nombre d’occasions. Mais, quand on voudra tenir compte également des parallaxes des deux astres, il faudra chercher leur distance angulaire sans supposer que l’un d’eux soit au point $\mathrm {C} .$ C’est ce que nous allons faire dans le numéro suivant.

15. Soient donc deux astres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ dont on cherche la distance angulaire vue du centre de la sphère.

Soient pour le premier de ces astres l’abscisse $\mathrm {CF} =p,$ l’ordonnée $\mathrm {FP} =q,$ comme plus haut ; et pour le second, soient de même l’abscisse $\mathrm {CG=P} ,$ l’ordonnée $\mathrm {GQ=Q} \,;$ on aura la distance $\mathrm {CP} ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},$ la distance $\mathrm {CQ={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}$ et la distance $\mathrm {PQ} ={\sqrt {(\mathrm {P} -p)^{2}+(\mathrm {Q} -q)^{2}}}.$ Or l’angle que l’on cherche est celui qui est formé au centre de la sphère par les deux rayons menés de ce centre aux points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et il est visible que ces rayons sont ${\sqrt {1+\mathrm {\overline {PC}} ^{2}}}$ et ${\sqrt {1+\mathrm {\overline {CQ}} ^{2}}},$ c’est-à-dire $1+p^{2}+q^{2}$ et $\mathrm {\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}} .$

L’angle dont il s’agit est donc celui qui est compris entre les deux côtés ${\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}$ et $\mathrm {\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}$ d’un triangle rectiligne dont le troisième côté est $\mathrm {PQ}$ ou ${\sqrt {(\mathrm {P} -p)^{2}+(\mathrm {Q} -q)^{2}}}.$ Donc, nommant $\Sigma$ cet angle, on aura, par la propriété connue des triangles rectilignes,

$\cos \Sigma ={\frac {1+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} +1+p^{2}+q^{2}-(\mathrm {P} -p)^{2}-(\mathrm {Q} -q)^{2}}{2\mathrm {\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}},$

c’est-à-dire

$\cos \Sigma ={\frac {1+\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q}{\mathrm {\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}\,;$

d’où l’on tire

$\sin \Sigma ={\frac {\sqrt {\mathrm {\left(1+P^{2}+Q^{2}\right)} \mathrm {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)} -(1+\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q)}}{\mathrm {\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}.$

Or la quantité qui est sous le signe, dans le numérateur de cette formule, se réduit facilement à $(\mathrm {P} -p)^{2}+(\mathrm {Q} -q)^{2}+(\mathrm {P} q-\mathrm {Q} p)^{2}\,;$ donc,