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divisant le sinus par le cosinus, on aura

$\operatorname {tang} \Sigma ={\frac {\sqrt {(\mathrm {P} -p)^{2}+(\mathrm {Q} -q)^{2}+(\mathrm {P} q-\mathrm {Q} p)^{2}}}{1+\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q}}\,;$

c’est la tangente de la distance angulaire des deux astres vus du centre de la sphère.

Cette distance est la distance vraie, parce que les quantités $p,q,\mathrm {P,Q}$ sont censées appartenir aux lieux vrais des astres ; pour avoir la distance apparente des mêmes astres, que je désignerai par $\Sigma ',$ il n’y aura qu’à marquer toutes les lettres d’un trait, ce qui donnera

$\operatorname {tang} \Sigma '={\frac {\sqrt {(\mathrm {P} '-p')^{2}+(\mathrm {Q} '-q')^{2}+(\mathrm {P} 'q'-\mathrm {Q} 'p')^{2}}}{1+\mathrm {P} 'p'+\mathrm {Q} 'q'}}.$

À l’égard des quantités $\mathrm {P,Q,P',Q'} ,$ on les déterminera par des formules semblables à celles qui expriment les quantités $p,q,p',q'$ (13).

Pour cela, on désignera par $\mathrm {A}$ la longitude et par $\mathrm {B}$ la latitude de l’astre $\mathrm {Q} ,$ et par $\mathrm {L,M,N}$ ce que deviennent les quantités $l,m,n$ du n^o 11, en y changeant $a$ en $\mathrm {A}$ et $b$ en $\mathrm {B} \,;$ on aura sur-le-champ $\mathrm {P={\frac {M}{L}},\ Q={\frac {N}{L}}} \,;$ ensuite, nommant $\Pi$ le sinus de la plus grande parallaxe de hauteur de l’astre $\mathrm {Q} ,$ on aura $\mathrm {P'={\frac {M-\Pi \mu }{L-\Pi \lambda }},\ Q'={\frac {N-\Pi \nu }{L-\Pi \lambda }}} ,$ les quantités, $\lambda ,\mu ,\nu$ demeurant les mêmes pour les deux astres, puisqu’elles sont indépendantes des angles $a$ et $b.$

16. On peut représenter la valeur de $\operatorname {tang} \Sigma$ d’une manière assez simple, par le moyen des lignes $\mathrm {PC,QC,PQ} ,$ et de l’angle $\mathrm {PCQ} \,;$ car on a d’abord $(\mathrm {P} -p)^{2}+(\mathrm {Q} -q)^{2}=\mathrm {\overline {PQ}} ^{2}\,;$ ensuite, nommant, comme plus haut, l’angle $\mathrm {PCE} ,$ $\gamma ,$ et pareillement l’angle $\mathrm {QCE} ,$ $\Gamma ,$ on aura

$p=\mathrm {CP} \times \sin \gamma ,\quad q=\mathrm {CP} \times \cos \gamma ,\quad \mathrm {P=CQ\times \sin \Gamma ,\quad Q=CQ\times \cos \Gamma } \,;$

donc

$\mathrm {P} q-\mathrm {Q} p=\mathrm {CP\times CQ\times \sin(\Gamma -\gamma )=-CP\times CQ\times \sin PCQ} .$

et

$\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q=\mathrm {CP\times CQ\times \cos(\Gamma -\gamma )=CP\times CQ\times \cos PCQ} .$