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et cet angle $\sigma$ sera celui que le grand cercle passant par les lieux vrais des deux astres fera avec le cercle de latitude passant par le point $\mathrm {C} ,$ dont la longitude est $\alpha$ et la latitude $\beta .$

Donc aussi, désignant par $\sigma '$ l’angle du grand cercle qui passe par les lieux apparents avec le même cercle de latitude, on aura

$\operatorname {tang} \sigma '={\frac {\mathrm {P} '-p}{\mathrm {Q} '-q}}.$

Article II. — Simplification des formules précédentes, et manière de faciliter le calcul de ces formules par le moyen de quelques Tables.

19. Nous venons de résoudre le Problème des distances apparentes des astres, par une méthode qui joint à la plus grande généralité toute l’exactitude et la simplicité dont la matière est susceptible. Mais, comme dans cette méthode on a supposé que la position du plan de projection était arbitraire, cette position dépendant uniquement des angles indéterminés $\alpha$ et $\beta ,$ dont le premier représente la longitude, et le second la latitude du point de la sphère auquel le plan de projection est supposé tangent, il est visible qu’on pourra rendre la solution du Problème encore plus simple, en déterminant convenablement la valeur des angles dont il s’agit, ce qui n’apportera d’ailleurs aucune restriction ni à la généralité ni à l’exactitude de cette solution c’est ce que nous allons examiner.

On a trouvé en général, pour la détermination de la distance apparente la formule rigoureuse

$\operatorname {tang} \Sigma '={\frac {\sqrt {(\mathrm {P} '-p')^{2}+(\mathrm {Q} '-q')^{2}+(p'\mathrm {Q} '-q'\mathrm {P} ')^{2}}}{1+\mathrm {P} 'p'+\mathrm {Q} 'q'}},$

dans laquelle

${\begin{alignedat}{2}p'=&{\frac {m-\varpi \mu }{l-\varpi \lambda }},&q'=&{\frac {n-\varpi \nu }{l-\varpi \lambda }},\\\mathrm {P} '=&\mathrm {\frac {M-\Pi \mu }{L-\Pi \lambda }} ,\qquad &\mathrm {Q} '=&\mathrm {\frac {N-\Pi \nu }{L-\Pi \lambda }} ,\end{alignedat}}$