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de sorte que, à cause de

${\begin{aligned}&\left[\mathrm {Q} '(p'-\mathrm {P} ')+\mathrm {P} '(q'-\mathrm {Q} ')\right]^{2}+\left[\mathrm {P} '(p'-\mathrm {P} ')+\mathrm {Q} '(q'-\mathrm {Q} ')\right]^{2}\\&\qquad =\mathrm {\left(P'^{2}+Q'^{2}\right)} \left[(p'-\mathrm {P} ')^{2}+(q'-\mathrm {Q} ')^{2}\right],\end{aligned}}$

si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}&{\sqrt {(p'-\mathrm {P} ')^{2}+(q'-\mathrm {Q} ')^{2}}}=\operatorname {tang} \sigma ,\\\\&{\frac {\mathrm {Q} '(p'-\mathrm {P} ')+\mathrm {P} '(q'-\mathrm {Q} ')}{\mathrm {P} '(p'-\mathrm {P} ')+\mathrm {Q} '(q'-\mathrm {Q} ')}}=\operatorname {tang} s,\\\\&\mathrm {\sqrt {P'^{2}+Q'^{2}}} =f,\end{aligned}}$

on aura

$p'\mathrm {Q} '-q'\mathrm {P} '=f\operatorname {tang} \sigma \sin s,\quad 1+\mathrm {P} 'p'+\mathrm {Q} 'q'=1+f\operatorname {tang} \sigma \cos s+f^{2},$

et l’expression de $\operatorname {tang} \Sigma '$ deviendra

$\operatorname {tang} \Sigma '={\frac {\operatorname {tang} \sigma {\sqrt {1+f^{2}\sin ^{2}s}}}{1+f\cos s\operatorname {tang} \sigma +f^{2}}}.$

Si $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ étaient nuls, on aurait $f=0\,;$ donc $\operatorname {tang} \Sigma '=\operatorname {tang} \sigma$ et $\Sigma '=\sigma .$ Donc, lorsque $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ sont seulement très-petits, l’angle $\Sigma '$ différera de l’angle $\sigma$ d’une quantité du même ordre.

Pour trouver cette différence, nous nous servirons des formules que nous avons données dans notre Mémoire sur la solution de quelques Problèmes, etc., imprimé parmi ceux de Berlin pour l’année 1776^[1]. Dans ce Mémoire, nous avons trouvé (31) que, si l’on a l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin y+b\cos y}{\cos y+p\sin y}}={\frac {a\operatorname {tang} y+b}{1+p\operatorname {tang} y}},$

et qu’on fasse

${\frac {b-p}{1+a}}=\operatorname {tang} \alpha ,\quad {\frac {b+p}{1-a}}=\operatorname {tang} \beta ,\quad {\frac {\sqrt {(1-a)^{2}+(b+p)^{2}}}{\sqrt {(1+a)^{2}+(b-p)^{2}}}}=\mathrm {K} ,$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 297.