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on aura

$x=y+\alpha -\mathrm {K} \sin(2y+\alpha -\beta )+{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2(2y+\alpha -\beta )$

$-{\frac {\mathrm {K} ^{3}}{3}}\sin 3(2y+\alpha -\beta )+\ldots .$

Appliquant cela à notre cas, on fera

$a={\frac {\sqrt {1+f^{2}\sin ^{2}s}}{1+f^{2}}},\quad p={\frac {f\cos s}{1+f^{2}}},\quad b=0,$

$\Sigma '=x,\quad \sigma =y\,;$

de sorte qu’on aura

$\Sigma '=\sigma +\alpha -\mathrm {K} \sin(2\sigma +\alpha -\beta )+{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2(2\sigma +\alpha -\beta )-\ldots .$

Or il est visible, par l’équation entre $\operatorname {tang} \Sigma '$ et $\operatorname {tang} \sigma ,$ que $\Sigma '=0$ lorsque $\sigma =0\,;$ donc on aura alors

$\alpha -\mathrm {K} \sin(\alpha -\beta )+{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2(\alpha -\beta )-\ldots =0.$

Substituant donc cette valeur de $\alpha$ dans la formule précédente et faisant, pour plus de simplicité, $\alpha -\beta =\gamma ,$ on aura

$\Sigma '=\sigma -2\mathrm {K} \sin \sigma \cos(\sigma +\gamma )+{\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2\sigma \cos 2(\sigma +\gamma )$

$-{\frac {2\mathrm {K} ^{3}}{3}}\sin 3\sigma \cos 3(\sigma +\gamma )+\ldots .$

Or, à cause de $b=0,on$ aura

$\operatorname {tang} \gamma =\operatorname {tang} (\alpha -\beta )=-{\frac {2p}{1-a^{2}-p^{2}}},$

ce qui, en substituant les valeurs de $a$ et $p$ et réduisant, donne

$\operatorname {tang} \gamma =-{\frac {2\cos s}{f}}\,;$

et, par les mêmes substitutions, on trouvera

$\mathrm {K} ={\frac {f{\sqrt {\cos ^{2}s+{\cfrac {f^{2}}{4}}}}}{1+{\cfrac {f^{2}}{2}}+{\sqrt {1+f^{2}\sin ^{2}s}}}}.$