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38. Comme les angles $t$ et $u,$ ainsi que $\psi$ et $\Psi ,$ sont toujours assez petits, on pourra, par une première approximation, réduire l’équation précédente à celle-ci, dans laquelle $s=t\cos \mathrm {B}$ et $i=$ à l’arc égal au rayon $=57^{\circ }17'44'',$

$\Sigma '={\frac {\sqrt {\begin{aligned}&\left[s-{\cfrac {su}{i}}\operatorname {tang} \mathrm {B} -(\mu \psi -\mu \Psi )\right]^{2}\\&+\left[u+{\frac {s^{2}}{2i}}\operatorname {tang} \mathrm {B} -(\nu \psi -\nu \Psi )\cos \mathrm {B} +(\lambda \psi -\lambda \Psi )\sin \mathrm {B} \right]^{2}\end{aligned}}}{1-\cos \mathrm {B} \sin \lambda \psi -\sin \mathrm {B} \sin \nu \psi }}$

Comme, pour la Lune, la latitude $\mathrm {B}$ ne va guère qu’à environ $5$ degrés, il est visible que les deux termes ${\frac {su}{i}}\operatorname {tang} \mathrm {B}$ et ${\frac {s^{2}}{2i}}\operatorname {tang} \mathrm {B}$ seront toujours très-petits et pourront le plus souvent être négligés, du moins dans la première approximation. Au reste, quand on voudra être assuré des secondes, il faudra toujours avoir recours à la première formule.

39. Pour l’instant de l’immersion ou de l’émersion, on aura, par un calcul semblable à celui des n^os 32 et 33, l’équation

$\operatorname {tang} \Sigma '=\operatorname {tang} \mathrm {D} +{\frac {\sin d}{\left[l-\varpi (\lambda \cos \mathrm {B} +\nu \sin \mathrm {B} )\right]\cos \mathrm {D} }},$

$\mathrm {D}$ étant le demi-diamètre horizontal de la Lune, et $d$ celui de l’astre occulté ; de sorte qu’on aura l’équation

$\left[{\frac {\sin d}{\cos \mathrm {D} }}+\left(\cos u-2\sin ^{2}{\frac {t}{2}}\cos b\cos \mathrm {B} -\cos \mathrm {B} \sin \lambda \psi -\sin \mathrm {B} \sin \nu \psi \right)\operatorname {tang} \mathrm {D} \right]^{2}$

$=\left[\sin t\cos b-\sin(\mu \psi -\mu \Psi )\right]^{2}$

$+\left[\sin u+2\sin ^{2}{\frac {t}{2}}\cos b\sin \mathrm {B} -\cos \mathrm {B} \sin(\nu \psi -\nu \Psi )+\sin \mathrm {B} \sin(\lambda \psi -\lambda \Psi )\right]^{2},$

qu’on peut réduire à cette formule approchée

$\left[d+(1-\lambda \psi \cos \mathrm {B} -\nu \psi \sin \mathrm {B} )\mathrm {D} \right]^{2}$

$=\left[s-{\frac {su}{i}}\operatorname {tang} \mathrm {B} -(\mu \psi -\mu \Psi )\right]^{2}$

$+\left[u+{\frac {s^{2}}{2i}}\operatorname {tang} \mathrm {B} -(\nu \psi -\nu \Psi )\cos \mathrm {B} +(\lambda \psi -\lambda \Psi )\sin \mathrm {B} \right]^{2}.$

Ainsi l’on aura deux équations semblables, l’une pour l’immersion, l’autre pour l’émersion ; d’où, en supposant les mouvements horaires connus, on pourra déterminer l’instant de la conjonction et la latitude de la Lune dans cet instant, par une méthode semblable à celle qu’on