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Donc, faisant ces substitutions, on aura

$\operatorname {tang} \Sigma =\mathrm {\frac {\sqrt {{\overline {PQ}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}\times {\overline {CQ}}^{2}\times \sin ^{2}PCQ}}{1+CP\times CQ\times \cos PCQ}} .$

De même, si $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ sont les lieux apparents des astres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ on aura

$\operatorname {tang} \Sigma '=\mathrm {\frac {\sqrt {{\overline {P'Q'}}^{2}+{\overline {P'C}}^{2}\times {\overline {Q'C}}^{2}\times \sin ^{2}P'CQ'}}{1+P'C\times Q'C\times \cos P'CQ'}} .$

17. Les formules précédentes ont lieu généralement, quelles que soient les positions des astres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} \,;$ mais, si l’on suppose que l’astre $\mathrm {Q}$ tombe au point $\mathrm {C} ,$ alors il est visible qu’on aura $\mathrm {P=0,\ Q=0}$ donc $\mathrm {M=0,\ N} =0\,;$ et, comme $\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} =1$ (hypothèse), on aura $\mathrm {L} =1\,;$ c’est aussi ce qu’on peut trouver, d’après les valeurs de $\mathrm {L,M,N} ,$ en y faisant $\mathrm {A} =\alpha ,\ \mathrm {B} =\beta .$ On aura donc dans ce cas $\operatorname {tang} \Sigma ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},$ ce qui s’accorde avec les résultats du n^o 14, où est la même chose que $\Sigma$ dans le cas présent, c’est-à-dire, la distance angulaire des deux astres $\mathrm {C}$ et $\mathrm {P} .$ Mais la distance apparente $\Sigma '$ ne sera plus la même que la distance apparente $\delta '$ du numéro cité, pour laquelle on a la formule $\operatorname {tang} \delta '={\sqrt {p'2+q'^{2}}}\,;$ car ici $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ ne seront pas nuls, mais auront les valeurs suivantes

$\mathrm {P} '=-{\frac {\Pi \mu }{1-\Pi \lambda }},\quad \mathrm {Q} '=-{\frac {\Pi \nu }{1-\Pi \lambda }},$

qui sont, comme l’on voit, l’effet de la parallaxe de l’astre $\mathrm {Q}$ ou $\mathrm {C} ,$ qu’on avait supposée nulle dans lé cas du numéro cité.

18. Au reste, si l’on voulait aussi connaître l’angle que la ligne $\mathrm {PQ}$ fait avec $\mathrm {CE} ,$ il est clair qu’en nommant $\sigma$ cet angle, on aurait^[1]

$\operatorname {tang} \sigma =\mathrm {\frac {GC-FC}{GQ-FP}} ={\frac {\mathrm {P} -p}{\mathrm {Q} -q}},$

1. L’angle que les deux lignes $\mathrm {CG}$ et $\mathrm {PQ}$ forment entre elles n’est égal, comme M. Henry l’a remarqué, à celui qui est compris entre le cercle de latitude du point $\mathrm {C}$ et le grand cercle qui joint les lieux vrais des deux astres, que dans le seul cas où l’un d’eux se trouve réellement au point $\mathrm {C} \,;$ ceci, au demeurant, n’a aucune influence sur la suite du Mémoire.