§ II. — Méthode pour déterminer les nombres entiers qui donnent
les minima des formules indéterminées à deux inconnues.
Les questions dont nous allons nous occuper, et pour lesquelles nous allons donner des méthodes directes et générales, sont d’un genre entièrement nouveau dans l’Analyse indéterminée. On n’avait point encore appliqué cette Analyse aux Problèmes de maximis et minimis ; nous nous proposons ici de déterminer les minima des fractions rationnelles, entières et homogènes à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers. Cette recherche nous conduira encore à la Théorie des fractions continues, et servira à donner à cette Théorie de nouveaux degrés de perfection.
23. Étant donnée une quantité positive et supposant que et ne puissent être que des nombres entiers positifs et premiers entre eux, on demande de trouver les valeurs de ces nombres qui rendront la formule y-az un minimum (abstraction faite du signe) relativement à tous les nombres plus petits qu’on pourrait substituer pour et
Soient et des nombres entiers et premiers entre eux, qui, étant substitués pour et dans la formule la rendent plus petite que si l’on y substituait d’autres nombres moindres que et Donc prenant pour et des nombres quelconques entiers positifs et premiers entre eux, mais moindres que et il faudra que la valeur de soit moindre que celle de abstraction faite des signes de ces quantités, c’est-à-dire en les prenant l’une et l’autre positivement. Prenons et tels que l’on ait le signe supérieur ayant lieu lorsque sera positif, et l’inférieur lorsque sera négatif. (Nous verrons dans un moment qu’il est toujours possible de trouver des nombres qui satisfassent à cette condition.) Je vais prouver que tous
