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les autres nombres moindres que $p$ et $q,$ qu’on substituerait pour $y$ et $z,$ rendraient la formule $y-az$ (abstraction faite du signe) plus grande que $p-aq$ et que $r-as.$

En effet, il est clair qu’on peut supposer, en général,

$y=pt+ru,\quad z=qt+su,$

$t$ et $u$ étant deux inconnues ; or, par la résolution de ces équations, on a

$t={\frac {sy-rz}{ps-qr}},\quad u={\frac {qy-pz}{qr-ps}}\,;$

donc, à cause de $ps-qr=\pm 1,$

$t=\pm (sy-rz),\quad u=\pm (qy-pzr)\,;$

d’où l’on voit que $t$ et $u$ seront toujours des nombres entiers, puisque $p,q,r,s$ et $y,z$ sont supposés entiers.

Donc, $t$ et $u$ étant des nombres entiers, et $p,q,r,s$ des nombres entiers positifs, il est clair que, pour que les valeurs de $y$ et $z$ soient moindres que celles de $p$ et, $q,$ il faudra nécessairement que les nombres $t$ et $u$ soient de signes différents.

Maintenant je remarque que la valeur de $r-as$ sera aussi de différent signe que celle de $p-aq\,;$ car, faisant $p-aq=\mathrm {P}$ et $r-as=\mathrm {R} ,$ on aura

${\frac {p}{q}}=a+{\frac {\mathrm {P} }{q}},\quad {\frac {r}{s}}=a+{\frac {\mathrm {R} }{s}}\,;$

mais l’équation $ps-qr=\pm 1$ donne ${\frac {p}{q}}-{\frac {r}{s}}=\pm {\frac {1}{qs}}\,;$ donc

${\frac {\mathrm {P} }{q}}-{\frac {\mathrm {R} }{s}}=\pm {\frac {1}{qs}}\,;$

donc, puisqu’on suppose que le signe ambigu soit pris conformément à celui de la quantité $p-aq$ ou $\mathrm {P} ,$ il faudra que la quantité ${\frac {\mathrm {P} }{q}}-{\frac {\mathrm {R} }{s}}$ soit positive si $\mathrm {P}$ est positif, et négative si $\mathrm {P}$ est négatif ; or, comme $s$ est