les autres nombres moindres que
et
qu’on substituerait pour
et
rendraient la formule
(abstraction faite du signe) plus grande que
et que
En effet, il est clair qu’on peut supposer, en général,
![{\displaystyle y=pt+ru,\quad z=qt+su,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5a3a0a2be510e9a640a5fea0ef6c50e69054c)
et
étant deux inconnues ; or, par la résolution de ces équations, on a
![{\displaystyle t={\frac {sy-rz}{ps-qr}},\quad u={\frac {qy-pz}{qr-ps}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3b88a5ec95e5ba5af9278ea0f913f5fabb8a78)
donc, à cause de ![{\displaystyle ps-qr=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281c62e59c3baf17cfdce9b550068f8dadd01c1a)
![{\displaystyle t=\pm (sy-rz),\quad u=\pm (qy-pzr)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb55101bf4cbd4e80633cb4e0baeb750d9f48153)
d’où l’on voit que
et
seront toujours des nombres entiers, puisque
et
sont supposés entiers.
Donc,
et
étant des nombres entiers, et
des nombres entiers positifs, il est clair que, pour que les valeurs de
et
soient moindres que celles de
et,
il faudra nécessairement que les nombres
et
soient de signes différents.
Maintenant je remarque que la valeur de
sera aussi de différent signe que celle de
car, faisant
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}=a+{\frac {\mathrm {P} }{q}},\quad {\frac {r}{s}}=a+{\frac {\mathrm {R} }{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60328a8860705ebedbe6694fbb5c241f947b5814)
mais l’équation
donne
donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} }{q}}-{\frac {\mathrm {R} }{s}}=\pm {\frac {1}{qs}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048131805901191c44d2a7a0c21c478c377e088c)
donc, puisqu’on suppose que le signe ambigu soit pris conformément à celui de la quantité
ou
il faudra que la quantité
soit positive si
est positif, et négative si
est négatif ; or, comme
est