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et de même la quantité $\operatorname {tang} h'+\alpha \cos g'-\beta \sin g'$ sous la forme

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {tang} h'+\operatorname {tang} h}{2}}&+\alpha \cos {\frac {g'+g}{2}}\cos {\frac {g'-g}{2}}-\beta \sin {\frac {g'+g}{2}}\cos {\frac {g'-g}{2}}\\+{\frac {\operatorname {tang} h'-\operatorname {tang} h}{2}}&-\alpha \,\sin {\frac {g'+g}{2}}\sin {\frac {g'-g}{2}}-\beta \cos {\frac {g'+g}{2}}\sin {\frac {g'-g}{2}},\end{aligned}}$

de sorte que le produit de ces deux quantités deviendra

${\begin{aligned}&\left[{\frac {\operatorname {tang} h'+\operatorname {tang} h}{2}}+\left(\alpha \cos {\frac {g'+g}{2}}-\beta \sin {\frac {g'+g}{2}}\right)\cos {\frac {g'-g}{2}}\right]^{2}\\-&\left[{\frac {\operatorname {tang} h'-\operatorname {tang} h}{2}}-\left(\alpha \sin {\frac {g'+g}{2}}+\beta \cos {\frac {g'+g}{2}}\right)\sin {\frac {g'-g}{2}}\right]^{2},\end{aligned}}$

expression qui, en négligeant les quantités très-petites du second ordre, se réduit à celle-ci

$\left({\frac {\operatorname {tang} h'\operatorname {tang} h}{2}}+\alpha \cos {\frac {g'+g}{2}}-\beta \sin {\frac {g'+g}{2}}\right)^{2},$

qu’on pourra donc substituer à la place du dénominateur du premier membre de l’équation du n^o 8.

On pourrait faire de pareilles réductions sur le numérateur du premier membre de la même équation ; mais je me suis assuré par le calcul que les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ n’en deviendraient pas plus simples.

11. Retenant donc les expressions des coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ données dans le n^o 7, et faisant de plus

$\mathrm {C} =\operatorname {tang} h\operatorname {tang} h',\quad a=\cos {\frac {g'+g}{2}},\quad b=\sin {\frac {g'+g}{2}},\quad c={\frac {\operatorname {tang} h'+\operatorname {tang} h}{2}},$

l’équation du n^o 8 deviendra

${\frac {\mathrm {A\alpha -B\beta +C} }{(a\alpha -b\beta +c)^{2}}}={\sqrt {\frac {\varpi }{{\sqrt {1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\Pi }}},$

et chaque couple d’observations de la comète, dont l’intervalle soit très-