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petit, fournira une pareille équation, dans laquelle les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,$ $a,b,c$ seront connus ; donc, si l’on a trois couples de telles ohservations, on en déduira trois équations de la forme

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A_{1}\alpha -B_{1}\beta +C_{1}} }{(a_{1}\alpha -b_{1}\beta +c_{1})^{2}}}=&{\sqrt {\frac {\varpi }{\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\Pi }}},\\{\frac {\mathrm {A_{2}\alpha -B_{2}\beta +C_{2}} }{(a_{2}\alpha -b_{2}\beta +c_{2})^{2}}}=&{\sqrt {\frac {\varpi }{\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\Pi }}},\\{\frac {\mathrm {A_{3}\alpha -B_{3}\beta +C_{3}} }{(a_{3}\alpha -b_{3}\beta +c_{3})^{2}}}=&{\sqrt {\frac {\varpi }{\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\Pi }}},\end{aligned}}$

qui serviront à déterminer les trois inconnues $\alpha ,\beta$ et $\varpi .$

Ces équations donnent d’abord ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A_{1}\alpha -B_{1}\beta +C_{1}} }{(a_{1}\alpha -b_{1}\beta +c_{1})^{2}}}=&{\frac {\mathrm {A_{2}\alpha -B_{2}\beta +C_{2}} }{(a_{2}\alpha -b_{2}\beta +c_{2})^{2}}},\\{\frac {\mathrm {A_{1}\alpha -B_{1}\beta +C_{1}} }{(a_{1}\alpha -b_{1}\beta +c_{1})^{2}}}=&{\frac {\mathrm {A_{3}\alpha -B_{3}\beta +C_{3}} }{(a_{3}\alpha -b_{3}\beta +c_{3})^{2}}},\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer les deux inconnues $\alpha$ et $\beta .$

Qu’on suppose

${\begin{aligned}\mathrm {A_{1}\alpha -B_{1}\beta +C_{1}} =&x,\\a_{1}\alpha \ -b_{1}\beta \ +c_{1}\ =&y\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {(x-c_{1})b_{1}-(y-c_{1})\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {A} _{1}b_{1}-a_{1}\mathrm {B} _{1}}},\\\beta =&{\frac {(x-c_{1})a_{1}-(y-c_{1})\mathrm {A} _{1}}{\mathrm {A} _{1}b_{1}-a_{1}\mathrm {B} _{1}}}\,;\end{aligned}}$

le premier membre des deux équations précédentes deviendra ${\frac {x}{y^{2}}}\,;$ et, substituant les valeurs précédentes de $\alpha$ et $\beta$ dans les seconds membres des mêmes équations, elles deviendront évidemment de la forme

${\begin{aligned}{\frac {x}{y^{2}}}=&{\frac {lx+my+n}{(\mathrm {L} x+\mathrm {M} y+\mathrm {N} )^{2}}},\\{\frac {x}{y^{2}}}=&{\frac {px+qy+r}{(\mathrm {P} x+\mathrm {Q} y+\mathrm {R} )^{2}}}\,;\end{aligned}}$