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On connaît donc dans ce triangle deux côtés $p$ et $q$ et l’angle compris $180^{\circ }-\theta +\psi \,;$ on peut donc trouver l’angle $\zeta ,$ qui ainsi ne dépend que de l’angle $\theta -\psi \,;$ et, par suite, une Table à simple entrée suffira pour le calcul de $\zeta ,$ tant que $p$ et $q$ resteront constants ; ayant $\zeta ,$ on aura aisément l’inconnue $\varphi$ par la formule $\varphi =\theta -\zeta .$

V.

On a, dans le triangle $\mathrm {ABC} ,$

$p\sin \zeta =q\sin \mathrm {BCA} \,;$

mais

$\mathrm {BCA=180-ABC-BAC} =\theta -\psi -\zeta ,$

donc

$p\sin \zeta =q\sin(\theta -\psi -\zeta )=q\sin(\theta -\psi )\cos \zeta -q\cos(\theta -\psi )\sin \zeta \,;$

donc

$\operatorname {tang} \zeta ={\frac {q\sin(\theta -\psi )}{p+q\cos(\theta -\psi )}}.$

Si l’on fait maintenant $\zeta ={\frac {\theta -\psi }{2}}-y,$ un calcul simple donnera immédiatement

$\operatorname {tang} y={\frac {p-q}{p+q}}\operatorname {tang} {\frac {\theta -\psi }{2}}.$

Cette dernière équation est, comme on voit, de la forme traitée dans le n^o I ; elle n’exige qu’une Table à simple entrée, dont l’argument est ${\frac {\theta -\psi }{2}},$ $y$ étant l’angle cherché. Ayant trouvé cet angle, on aura $\zeta$ par la formule

$\zeta ={\frac {\theta -\psi }{2}}-y$

et finalement

$\varphi ={\frac {\theta +\psi }{2}}+y.$