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Ayant mené $\mathrm {BE}$ et $\mathrm {CF}$ perpendiculairement, $\mathrm {BG}$ parallèlement à $\mathrm {AEF} ,$

Fig. 1.

triangle rectangle à propos des longitudes de Jupiter et Saturne

on a évidemment

$\mathrm {BE} =p\sin \theta ,\ \ \mathrm {AE} =p\cos \theta ,\ \ \mathrm {CG} =q\sin \psi ,\ \ \mathrm {BG} =q\cos \psi ,\ \ \mathrm {\frac {CF}{AF}} =\operatorname {tang} \varphi \,;$

or

$\mathrm {CF=CG+BE,\quad AF=BG+AE} ,$

donc on a

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {p\sin \theta +q\sin \psi }{p\cos \theta +q\cos \psi }}\,;$

si l’on fait maintenant ${\frac {q}{p}}=a,$ on aura

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi }{\cos \theta +a\cos \psi }},$

ce qui est la formule posée au commencement.

IV.

Si maintenant on désigne par $\zeta$ l’angle $\mathrm {BAC} ,$ on aura

$\varphi =\theta -\zeta$

et, dans le triangle $\mathrm {ABC} ,$

$\mathrm {AB} =p,\quad \mathrm {BC} =q,\quad \mathrm {ABC} =180^{\circ }-\mathrm {DBA} \,;$

mais

$\mathrm {DBA=BAE-BDE} =\theta -\psi \,;$

donc

$\mathrm {ABC} =180^{\circ }-\theta +\psi .$