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VIII.

Pour abréger la solution, je prends $\psi -\theta =\zeta ,$ et je trouve, en réduisant,

$\operatorname {tang} \left(\varkappa -{\frac {\zeta }{2}}\right)={\frac {a-1}{a+1}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}},\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {tang} \left({\frac {\zeta }{2}}-\varkappa \right)={\frac {1-a}{1+a}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}.$

On voit aisément que ce résultat revient absolument à celui du n^o V. Si nous remettons en effet, à la place de $a,$ le rapport ${\frac {q}{p}}$ employé dans le n^o III, et si nous prenons $\varkappa ={\frac {\zeta }{2}}+y,$ nous aurons

$\operatorname {tang} y={\frac {p-q}{p+q}}\operatorname {tang} {\frac {\theta -\psi }{2}},\quad {\text{puis}}\quad \varphi =\theta +\varkappa =\theta +{\frac {\zeta }{2}}+y={\frac {\theta +\psi }{2}}+y.$

IX.

Soit la formule $\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \varphi +b\sin \chi }{\cos \theta +a\cos \varphi +b\cos \chi }}\,;$ on trouvera, comme précédemment et par la même méthode,

$e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}}={\frac {1+ae^{(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}+be^{(\chi -\theta ){\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}+be^{-(\chi -\theta ){\sqrt {-1}}}}},$

en faisant $\varphi =\theta +\varkappa .$

X.

Soient, pour abréger, $\psi -\theta =\zeta ,\ \chi -\theta =\eta \,;$ on aura

$e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}}={\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}},$

d’où

$\operatorname {tang} \left(\varkappa -{\frac {\zeta }{2}}\right)={\frac {(a-1)\sin {\frac {\zeta }{2}}+b\sin \left(\eta -{\frac {\zeta }{2}}\right)}{(a+1)\cos {\frac {\zeta }{2}}+b\cos \left(\eta -{\frac {\zeta }{2}}\right)}}.$