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produits de la deuxième, de la troisième, de la quatrième dimension,

${\begin{aligned}1+p+q+r=&(1+p)(1+q)(1+r)\\=&(1+p)(1+q)(1+r)(1-pq)(1-pr)(1-qr)\\=&(1+p)(1+q)(1+r)(1-pq)(1-pr)(1-qr)\\&\times \left(1+p^{2}r\right)\left(1+p^{2}q\right)\left(1+pq^{2}\right)\left(1+pr^{2}\right)\left(1+q^{2}r\right)\\&\times \left(1+qr^{2}\right)(1+2pqr),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

XVI.

Si donc on néglige la troisième dimension des produits des coefficients $a,b,$ on pourra décomposer la formules

${\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}}$

dans les facteurs suivants

${\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}}},\quad {\frac {1+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}},$

${\frac {1-abe^{(\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}{1-abe^{-(\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}},\quad {\frac {1+a^{2}be^{(2\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}{1+a^{2}be^{-(2\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}},\quad {\frac {1+ab^{2}e^{(\zeta +2\eta ){\sqrt {-1}}}}{1+ab^{2}e^{-(\zeta +2\eta ){\sqrt {-1}}}}}\,;$

il suit de là, d’après le n^o XIII, que l’on aura à employer les formules

${\begin{aligned}&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta }{2}}-\lambda \right)={\frac {1-a}{1+a}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\eta }{2}}\ -\mu \right)={\frac {1-b}{1+b}}\operatorname {tang} {\frac {\eta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta +\eta }{2}}-\tau \right)={\frac {1+ab}{1-ab}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta +\eta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {2\zeta +\eta }{2}}-\varpi \right)={\frac {1-a^{2}b}{1+a^{2}b}}\operatorname {tang} {\frac {2\zeta +\eta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta +2\eta }{2}}-\rho \ \right)={\frac {1-ab^{2}}{1+ab^{2}}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta +2\eta }{2}}.\end{aligned}}$