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Si, au resté, on ne veut pas faire directement le calcul par la formule (n^o XVIII)

$\operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)={\frac {1-m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}},$

mais se servir d’une série infinie pour calculer $\zeta ,$ et il est aisé de déduire une telle série des formules précédentes.

En effet, la formule trouvée pour la longitude géocentrique de la planète étant semblable à la formule du n^o XVIII, on la ramènera aisément à la suivante

$e^{2\zeta {\sqrt {-1}}}={\frac {1+me^{\varkappa {\sqrt {-1}}}}{1+me^{-\varkappa {\sqrt {-1}}}}},$

et, en prenant les logarithmes, on aura

$\zeta ={\frac {\log \left(1+me^{\varkappa {\sqrt {-1}}}\right)-\log \left(1+me^{-\varkappa {\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$

développant les logarithmes en série et substituant les expressions trigonométriques aux expressions exponentielles, il vient

$\zeta =m\sin \varkappa -{\frac {m^{2}}{2}}\sin 2\varkappa +{\frac {m^{3}}{3}}\sin 3\varkappa -\ldots .$

On peut consulter sur ce sujet les Gedenkschriften der Königl. Akademie pour l’année 1776.