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XXVIII.

Pour Jupiter on trouve des formules semblables, sauf qu’on ne doit pas négliger les termes de l’ordre $a^{3}\alpha ,$ $a^{3}\beta \,:$ on a

${\begin{aligned}\mathrm {long.\ g{\acute {e}}oc} .\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=&\mathrm {long.\ h{\acute {e}}lioc.} \mathbb {Z} \!^{\upsilon }+(a)(u)\\&+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(u+s)+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(u-s)\\&+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(u+t)+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(u-t)\\&+\left(-{\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2u+s)+\left(-{\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2u-s)\\&+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2u+t)+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2u-t),\\&+\left({\frac {a^{3}\alpha }{2}}\right)(3u+s)+\left({\frac {a^{3}\alpha }{2}}\right)(3u-s)\\&+\left(-{\frac {a^{3}\beta }{2}}\right)(3u+t)+\left(-{\frac {a^{3}\beta }{2}}\right)(3u-t),\end{aligned}}$

où $s=\operatorname {anom} .{\text{☉}},\ t=\operatorname {anom} .\mathbb {Z} \!^{\upsilon },\ u=\operatorname {long} .{\text{☉}}-\operatorname {long} .\mathbb {Z} \!^{\upsilon }.$

D’ailleurs, pour Jupiter, on a

${\frac {a^{3}\beta }{2}}<{\frac {1}{5000}},\quad {\text{et}}\quad {\frac {a^{3}\alpha }{2}}<{\frac {a^{3}\beta }{2}},$

car $\alpha$ est $<\beta \,;$ on peut donc supprimer sans scrupule les quatre derniers termes, si l’on ne tient pas à pousser la précision très-loin et s’il suffit d’avoir un nombre rond de minutes.

Il suffit donc de cinq Tables à simple entrée pour trouver commodément les longitudes géocentriques de Jupiter et de Saturne. Ces Tables se calculent aisément, car elles sont de la même forme que celles qui donnent la réduction de l’écliptique à l’équateur, ainsi que cela a été montré dans le n^o XVIII.