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Donc, puisque $2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}=\sin \varphi ,$ si l’on partage la série précédente en deux, on aura ces deux suites

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a\sin \alpha ,\\\mathrm {C} =&-a\sin \alpha \left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2},\\\mathrm {E} =&a\sin \alpha \left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{4},\\\mathrm {G} =&-a\sin \alpha \left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{6},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {B} =&a\cos \alpha \sin \varphi ,\\\mathrm {D} =&-a\cos \alpha \sin \varphi \left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2},\\\mathrm {F} =&a\cos \alpha \sin \varphi \left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{4},\\\mathrm {H} =&-a\cos \alpha \sin \varphi \left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{6},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

lesquelles sont évidemment deux progressions géométriques qui ont la même raison $-\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2}.$

8. De là il est facile de conclure que, si l’expression de $\mathrm {A} _{x}$ contient plusieurs termes tels que

$a\sin(\alpha +x\varphi )+b\sin(\beta +x\theta )+c\sin(\gamma +x\psi )+\ldots ,$

la série $\mathrm {A,C,E} ,\ldots$ sera composée d’autant de progressions géométriques dont les premiers termes seront

$a\sin \alpha ,\quad b\sin \beta ,\quad c\sin \gamma ,\quad \ldots ,$

et dont les raisons seront

$-\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2},\quad -\left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{2},\quad -\left(2\sin {\frac {\psi }{2}}\right)^{2},\quad \ldots .$