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et que, de même, la série $\mathrm {B,D,F} ,\ldots$ sera composée d’autant de progressions géométriques dont les premiers termes seront

$a\cos \alpha \sin \varphi ,\quad b\cos \beta \sin \theta ,\quad c\cos \gamma \sin \psi ,\quad \ldots ,$

et dont les raisons seront les mêmes que pour la série $\mathrm {A,C,E} ,\ldots .$

Ces deux séries seront par conséquent toujours du genre de celles que l’on nomme récurrentes, et dont la propriété est qu’il y a constamment la même relation entre un certain nombre de termes successifs ; cette relation étant la même que celle des puissances successives de l’inconnue dans une équation qui aurait pour racines les raisons des différentes progressions géométriques qui composent la série récurrente, ainsi qu’il est démontré dans plusieurs Ouvrages.

9. Lors donc qu’on aura formé la série des différences successives $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots ,$ on examinera d’abord si cette série va en diminuant, auquel cas on pourra faire usage de la formule du n^o 4.

Si l’on voit que cette série n’est pas décroissante, on la partagera en ces deux $\mathrm {A,C,E,\ldots ,B,D,F} ,\ldots ,$ et l’on examinera si elles sont des progressions géométriques qui ont la même raison. Alors, nommant $q$ cette raison, c’est-à-dire le quotient d’un terme quelconque divisé par le précédent, on aura

$-\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2}=q,$

d’où

$\sin {\frac {\varphi }{2}}={\frac {\sqrt {-q}}{2}}.$

Ensuite on aura

$a\sin \alpha =\mathrm {A} ,\quad a\cos \alpha \sin \varphi =\mathrm {B} ,$

d’où l’on tire

$a=\mathrm {\sqrt {A^{2}+{\frac {B^{2}}{\sin ^{2}\varphi }}}} ,\quad \operatorname {tang} \alpha =\mathrm {\frac {A\sin \varphi }{B}} ,$

par où l’on connaîtra le coefficient $a,$ ainsi que les deux angles $\alpha$ et $\varphi \,;$ ainsi l’on aura

$\mathrm {A} _{x}=a\sin(\alpha +x\varphi ),$

pour expression du terme général de la série primitive donnée.