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triques qui composent les séries $\mathrm {A,C} ,\ldots ,$ et $\mathrm {B,D} ,\ldots ,$ et par conséquent seront égales à (n^o 8)

$-\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2},\quad -\left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{2},\quad -\left(2\sin {\frac {\psi }{2}}\right)^{2},\quad \ldots .$

On aura donc non-seulement le nombre des sinus qui entrent dans l’expression du terme général $\mathrm {A} _{x}$ de la série proposée (n^o 7), mais aussi les valeurs des angles $\varphi ,\theta ,\psi ,\ldots ,$ et il ne restera plus qu’à déterminer les coefficients $a,b,\ldots ,$ ainsi que les angles $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ ce qu’on fera par la comparaison d’autant de termes de la série donnée. On pourrait aisément donner des formules générales pour cet objet, mais elles seraient, dans la pratique, moins commodes que l’opération ordinaire de l’élimination.

Pour faciliter cette opération, on prendra d’abord les sommes et les différences des termes équidistants de part et d’autre du terme $\mathrm {A} ,$ et l’on formera ces $n$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a\sin \alpha +b\sin \beta +c\sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {\frac {A_{1}+{}_{1}\!A}{2}} =&a\sin \alpha \cos \ \ \varphi +b\sin \beta \cos \ \ \theta +c\sin \gamma \cos \ \ \psi +\ldots ,\\\mathrm {\frac {A_{2}+{}_{2}\!A}{2}} =&a\sin \alpha \cos 2\varphi +b\sin \beta \cos 2\theta +c\sin \gamma \cos 2\psi +\ldots ,\\..\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ainsi que les $n$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {\frac {A_{1}-{}_{1}\!A}{2}} =&a\cos \alpha \sin \ \ \varphi +b\cos \beta \sin \ \ \theta +c\cos \gamma \sin \ \ \psi +\ldots ,\\\mathrm {\frac {A_{2}-{}_{2}\!A}{2}} =&a\cos \alpha \sin 2\varphi +b\cos \beta \sin 2\theta +c\cos \gamma \sin 2\psi +\ldots ,\\\mathrm {\frac {A_{3}-{}_{3}\!A}{2}} =&a\cos \alpha \sin 3\varphi +b\cos \beta \sin 3\theta +c\cos \gamma \sin 3\psi +\ldots ,\\..\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les premières serviront à déterminer les $n$ inconnues $a\sin \alpha ,\ b\sin \beta ,$