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d’où l’on formera cette équation en $z$ du premier degré

$z+(1)=0.$

Si la condition précédente n’a pas lieu, il faudra savoir si la loi des séries récurrentes peut être représentée par trois termes. Pour cela il faudra que, dans la troisième suite d’équations sans les inconnues $(0)$ et $(1),$ la troisième inconnue $(2)$ s’en aille d’elle-même, afin que l’on puisse y supposer nulles toutes les autres inconnues $(3),(4),\ldots .$

Si cette dernière condition a lieu, on prendra une quelconque des premières équations et une quelconque des équations sans $(0)\,;$ on y fera $(3)=0,\ (4)=0,\ldots ,$ et l’on aura deux équations qui serviront à déterminer les inconnues $(1)$ et $(2),$ et où l’on pourra supposer, pour plus de simplicité, $(0)=1.$

Alors nommant $\mathrm {T,T',T''}$ trois termes consécutifs de l’une ou de l’autre série $\mathrm {A,C,\ldots ,B,D} ,\ldots ,$ on aura cette relation constante

$\mathrm {T+T'(1)+T''} (2)=0,$

d’où l’on formera cette équation en $z$ du second degré

$z^{2}+(1)z+(2)=0.$

Mais, si la condition dont il s’agit n’a pas lieu, la loi des séries ne pourra pas être représentée par trois termes, et il faudra voir si elle peut l’être par quatre, et ainsi de suite.

13. Supposons à présent que l’on ait reconnu que cette loi peut être exprimée par $n+1$ termes, en sorte que l’on ait cette relation entre les termes successifs $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots ,$

$\mathrm {T+T'(1)+T''(2)} +\ldots =0.$

On formera de là l’équation en $z$ de degré $n$

$z^{n}+(1)z^{n-1}+(2)z^{n-2}+\ldots +(n)=0,$

dont les racines seront les raisons des différentes progressions géomé-