15. Supposons maintenant que, parmi les racines de l’équation en il y en ait une qui tombe hors de ces limites et Alors il est visible que l’équation ne pourra pas donner pour un angle réel ; cet angle deviendra donc imaginaire, et ses sinus et cosinus se transformeront en sinus et cosinus hyperboliques. Pour résoudre ce cas, on fera donc
et, employant les exponentielles, on aura
ce qui donnera l’équation
qui, étant résolue par les logarithmes, donnera toujours une valeur réelle de tant que sera ou
Ayant trouvé on mettra, à la place du terme de l’expression de deux termes de cette forme
et étant des coefficients qu’on déterminera par la comparaison des termes.
Les expressions et sont ce qu’on appelle cosinus et sinus hyperboliques du secteur et l’on en trouve une Table toute calculée dans les Additions publiées par M. Lambert aux Tables logarithmiques et trigonométriques. Dans ce cas donc, l’expression de contiendra la quantité en exponentielle, d’où résultera une autre espèce d’équations séculaires ; mais il ne paraît pas qu’il y ait de telles équations dans le système du monde.