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15. Supposons maintenant que, parmi les racines de l’équation en $z,$ il y en ait une $q$ qui tombe hors de ces limites $0$ et $-4.$ Alors il est visible que l’équation $-\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{2}=q$ ne pourra pas donner pour $\varphi$ un angle réel ; cet angle deviendra donc imaginaire, et ses sinus et cosinus se transformeront en sinus et cosinus hyperboliques. Pour résoudre ce cas, on fera donc

$\varphi =\omega {\sqrt {-1}}\,;$

et, employant les exponentielles, on aura

$2\sin {\frac {\varphi }{2}}={\frac {e^{-{\frac {\omega }{2}}}-e^{\frac {\omega }{2}}}{\sqrt {-1}}},$

ce qui donnera l’équation

$e^{\omega }+e^{-\omega }-2=q,$

qui, étant résolue par les logarithmes, donnera toujours une valeur réelle de $\omega$ tant que $q$ sera $>0$ ou $<-4.$

Ayant trouvé $\omega ,$ on mettra, à la place du terme $\mathrm {A} \sin(\alpha +x\varphi )$ de l’expression de $\mathrm {A} _{x},$ deux termes de cette forme

$\mathrm {M} {\frac {e^{x\omega }+e^{-x\omega }}{2}}+\mathrm {N} {\frac {e^{x\omega }-e^{-x\omega }}{2}},$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des coefficients qu’on déterminera par la comparaison des termes.

Les expressions ${\frac {e^{x\omega }+e^{-x\omega }}{2}}$ et ${\frac {e^{x\omega }-e^{-x\omega }}{2}}$ sont ce qu’on appelle cosinus et sinus hyperboliques du secteur ${\frac {x\omega }{2}},$ et l’on en trouve une Table toute calculée dans les Additions publiées par M. Lambert aux Tables logarithmiques et trigonométriques. Dans ce cas donc, l’expression de $\mathrm {A} _{x}$ contiendra la quantité $x$ en exponentielle, d’où résultera une autre espèce d’équations séculaires ; mais il ne paraît pas qu’il y ait de telles équations dans le système du monde.