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les formules du second cas ; et les termes suivants seront par conséquent les mêmes dans les deux cas.

On peut donc établir, en général, quel que soit le nombre $a,$ les déterminations suivantes :

${\begin{alignedat}{2}p_{0}&=1,&q_{0}&=0,\\p_{1}&=\mu ,&q_{1}&=1,\\p_{2}&=\mu _{1}p_{1}+1,&q_{2}&=\mu _{1},\\p_{3}&=\mu _{2}p_{2}+p_{1},&q_{3}&=\mu _{2}q_{2}+q_{1},\\p_{4}&=\mu _{3}p_{3}+p_{2},\qquad &q_{4}&=\mu _{3}q_{3}+q_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ensuite

${\begin{aligned}&\mu \ \,<a,\\&\mu _{1}<{\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}}<{\frac {1}{a-\mu }},\\&\mu _{2}<{\frac {aq_{1}-p_{1}}{p_{2}-aq_{2}}},\\&\mu _{3}<{\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}},\\&\mu _{4}<{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{4}-aq_{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où le signe $<$ dénote le nombre entier qui est immédiatement moindre que la valeur de la quantité placée après ce signe.

On trouvera ainsi successivement toutes les valeurs de $p$ et $q$ qui pourront satisfaire au Problème, ces valeurs ne pouvant être que les termes correspondants des deux séries $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ et $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots .$

Corollaire I.

26. Si l’on fait

$b={\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}},\quad c={\frac {aq_{1}-p_{1}}{p_{2}-aq_{2}}},\quad d={\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}},\quad \ldots ,$