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que nous représenterons, pour plus de commodité, de cette manière

$p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,\quad q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots ,$

et pour lesquelles nous avons les déterminations suivantes

Si $a>1,$

$p_{0}=1,\quad p_{1}<a>a-1,\quad q_{0}=0,\quad q_{1}=1\,;$

si $a<1,$

$p_{0}=0,\quad p_{1}=1,\quad q_{0}=1,\quad q_{1}<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{a}}-1\,;$

ensuite

${\begin{alignedat}{2}p_{2}&=\mu _{1}p_{1}+p_{0},\qquad &q_{2}&=\mu _{1}q_{1}+q_{0},\\p_{3}&=\mu _{2}p_{2}+p_{1},&q_{3}&=\mu _{2}q_{2}+q_{1},\\p_{4}&=\mu _{3}p_{3}+p_{2},&q_{4}&=\mu _{3}q_{3}+q_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et pour la détermination de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots ,$ les conditions

${\begin{aligned}\mu _{1}<{\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}}&>{\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}}-1,\\\mu _{2}<{\frac {p_{1}-aq_{1}}{aq_{2}-p_{2}}}&>{\frac {p_{1}-aq_{1}}{aq_{2}-p_{2}}}-1,\\\mu _{3}<{\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}}&>{\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}}-1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il est bon de remarquer encore que le second cas rentre dans le premier ; car, en supposant dans les formules du premier cas $a<1,$ on aura nécessairement

$p_{1}<a>a-1=0\,;$

donc

$p_{0}=1,\quad p_{1}=0,\quad q_{0}=0,\quad q_{1}=1,$

et de là

$\mu _{1}<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{a}}-1,\quad p_{2}=1,\quad q_{2}=\mu _{1}\,;$

de sorte qu’ici $p_{1},p_{2}$ et $q_{1},q_{2}$ seront ce que seraient $p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}$ dans