Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/609

et, si l’on appelle $\mu$ la masse de la poudre, de sorte qu’on ait

$\mu =\pi c^{2}\alpha \mathrm {D} ,$

on conclura de ces équations

(3)

$m{\frac {dy}{dt}}+m'{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {\mu }{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}dx=0,$

ce qui résulte en effet du principe général de la conservation du mouvement du centre de gravité, appliqué au centre de gravité du boulet, du canon et de la poudre réduite en gaz.

Je multiplie la première équation (2) par $2{\frac {dy}{dt}}dt$ et la seconde par $2{\frac {dy'}{dt}}dt\,;$ je les ajoute, et j’intègre par rapport à $t,$ ce qui donne

$m{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}=2\pi c^{2}k\int \left[{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt\,;$

l’équation (1) donne aussi

${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2nk}{\mathrm {D} }}\int {\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}dt\,;$

par l’intégration par partie relative à $x,$ on a d’ailleurs

$n\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}dx=$

${\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}+\int _{0}^{\alpha }{\frac {d^{2}z}{dtdx}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n}dx\,;$

à cause de $z=x$ et ${\frac {dz}{dx}}=1,$ quand $t=0,$ on a

$\int {\frac {d^{2}z}{dtdx}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n}dt={\frac {1}{1-n}}\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{1-n}-1\right]\,;$

nous aurons donc

$\int n\left[\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}dx\right]dt=$

${\frac {1}{1-n}}\int _{0}^{\alpha }\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{1-n}-1\right]dx-\int \left[{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt,$

et, par conséquent

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dx={\frac {2k}{\mathrm {D} (1-n)}}\left[\int _{0}^{\alpha }\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n}dx-\alpha \right]$

$-{\frac {2k}{\mathrm {D} }}\int \left[{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt.$

En multipliant cette dernière équation par ${\frac {\mu }{\alpha }}$ ou $\pi c^{2}\mathrm {D} ,$ et l’ajoutant à l’une des précédentes, on en conclut

(4)

$m{\frac {y^{2}}{t^{2}}}+m'{\frac {y'^{2}}{t^{2}}}+{\frac {\mu }{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dx={\frac {2\pi c^{2}k}{1-n}}\left[\int _{0}^{\alpha }\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{1-n}dx-\alpha \right],$