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tion est donc de savoir si l’on peut négliger, comme on le fait ordinairement, la vitesse initiale du boulet ainsi produite, ou bien si cette vitesse est une partie sensible de celle que le projectile a acquise quand il a atteint la bouche du canon. On ne peut pas décider a priori que ce dernier cas soit impossible, et c’est l’expérience seule qui nous apprendra s’il a réellement lieu ; car, pour qu’il arrivât, il suffirait, par exemple, que l’état d’incandescence du gaz de la poudre ne subsistât que pendant les premiers instants qui suivent l’inflammation, et que, dans cet état, l’action du gaz compensât son peu de durée par la grandeur de son intensité, de sorte que dans un temps qui serait, pour fixer les idées, la centième partie de la petite fraction de seconde pendant laquelle le boulet se meut dans la pièce, l’action initiale ou la percussion du gaz incandescent pût imprimer à ce projectile une vitesse comparable, égale, ou même supérieure à celle qu’il acquiert ensuite graduellement par la pression du gaz refroidi.

M. Cazaux, officier supérieur d’artillerie, a voulu prouver l’existence d’une percussion exercée par la poudre dans les premiers instants de sa réduction en gaz. Il appuie son opinion sur des considérations différentes de celles qu’on vient d’indiquer, pour montrer seulement la possibilité de cette force initiale. C’est à cette force qu’il attribue les effets de l’explosion des mines et le refoulement du métal du canon qui s’observe à l’endroit occupé par la charge et le boulet ; de cette manière, il donne une explication assez plausible de la singularité qu’ont présentée les poudres inflammables substituées à la poudre ordinaire on a reconnu qu’elles détériorent beaucoup plus les armes à feu sans communiquer néanmoins une vitesse plus grande à la balle ou au boulet.

Quoi qu’il en soit, Lagrange n’est point entré dans cette discussion, et il a supposé nulles les vitesses de toutes les parties du système à l’origine du mouvement. Ainsi l’on aura à la fois

$t=0,\quad z=x,\quad {\frac {dz}{dt}}=0,\quad {\frac {dy}{dt}}=0,\quad {\frac {dy'}{dt}}=0,$

et le problème consistera à satisfaire en même temps à ces conditions initiales et aux équations (1) et (2).

3. On pourra, si l’on veut, remplacer les équations (2), qui sont différentiellesdu second ordre, par les équations qui résultent des principes généraux du mouvement et ne sont que du premier ordre.

Pour cela, j’ajoute les équations (2) après les avoir multipliées par $dt\,;$ en intégrant ensuite, il vient

$m{\frac {dy}{dt}}+m'{\frac {dy'}{dt}}=\pi c^{2}k\int \left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt,$

cette intégrale commençant avec $t,$ ainsi que toutes les suivantes qui répondent à cette variable. L’équation (1) donne, par l’intégration relative à $x,$

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dx=-{\frac {k}{\mathrm {D} }}\left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]\,;$

en multipliant par $dt$ et intégrant par rapport à $t,$ on aura, par conséquent,

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}dx=-{\frac {k}{\mathrm {D} }}\int \left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt\,;$