Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/611

d’où l’on tire

$dt={\sqrt {\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}}}.$

Par la méthode des quadratures, on aura donc la valeur de $t$ relative à chaque valeur de $\theta ,$ et réciproquement, ce qui fera connaître à chaque instant la position du boulet dans l’intérieur de la pièce. Si l’on appelle $l$ sa longueur, on aura en particulier

$t={\sqrt {\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}}\int _{\alpha }^{l}{\frac {d\theta }{\sqrt {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}}},$

pour le temps que le projectile emploie à atteindre la bouche du canon. Au bout de ce temps, si l’on désigne par $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ les vitesses du boulet et du canon, on aura, d’après les équations (5),

${\begin{aligned}m\mathrm {V} \ \ +m'\mathrm {V} '\ \ =&0,\\m\mathrm {V} ^{2}+m'\mathrm {V} '^{2}=&{\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left({\frac {\theta ^{1-n}}{\alpha ^{1-n}}}-1\right),\end{aligned}}$

formules qui sont effectivement celles dont on se sert pour déterminer ces deux vitesses.

5. Au lieu de supprimer les termes multipliés par $\mu$ dans les équations (3) et (4), Lagrange y substitue, comme dans le second membre de l’équation (4), la valeur précédente de $z,$ savoir

$z={\frac {y-y'}{\alpha }}x+y',$

ce qui change ces équations en celles-ci

${\begin{aligned}&\left(m+{\frac {1}{2}}\mu \right){\frac {dy}{dt}}+\left(m'+{\frac {1}{2}}\mu \right){\frac {dy'}{dt}}=0,\\&\left(m+{\frac {1}{3}}\mu \right){\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\left(m'+{\frac {1}{3}}\mu \right){\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mu }{3}}{\frac {dy}{dt}}{\frac {dy'}{dt}}={\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left[\left({\frac {y-y')}{\alpha }}\right)^{1-n}-1\right].\end{aligned}}$

Or, en les comparant aux équations (5), et observant que la masse $\mu$ de la poudre est communément le tiers ou la moitié de la masse $m$ du boulet, on voit combien doit être fautive la solution du numéro précédent, et combien doivent être inexactes les valeurs de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ qui s’en déduisent. Mais, si cette comparaison suffit pour rendre sensible l’inexactitude des équations (5) celles que nous venons d’écrire ne sont pas elles-mêmes suffisamment exactes quand on veut avoir égard à la masse de la poudre ; car, lors même qu’on la suppose très-petite et qu’on ne veut conserver que la première puissance de dans le calcul, il faut substituer dans le second membre de l’équation (4) une valeur de $z$ plus approchée que la précédente.

Pour obtenir cette valeur, Lagrange fait

$z={\frac {y-y'}{\alpha }}x+y'+u,$

$u$ étant une nouvelle inconnue qu’il suppose très-petite. Après avoir mis l’équation (1) sous la forme

(7)

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {D} }{nk}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{n+1}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$