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il y substitue cette expression de $z$ et il néglige les différences partielles de $u$ dans son second membre, de sorte qu’on a

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {D} }{nk}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{n+1}\left[\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right){\frac {x}{\alpha }}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right].$

Mais les équations (2) donnent en même temps

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\quad \ {\frac {\pi c^{2}k}{m}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n},\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=&-{\frac {\pi c^{2}k}{m'}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n}\,;\end{aligned}}$

et en substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et observant que $\pi c^{2}\alpha \mathrm {D} =\mu ,$ on aura

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}={\frac {\mu }{n\alpha ^{3}}}(y-y')\left({\frac {x}{m}}+{\frac {x-\alpha }{m'}}\right).$

D’après les conditions $z=y'$ et $z=y,$ quand $x=0$ et $x=\alpha ,$ il faut que $u$ s’évanouisse pour ces deux valeurs extrêmes de $x,$ et, cela étant, on trouve en conséquence

$u={\frac {\mu (y-y')(x-\alpha )x}{6n\alpha ^{3}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right),$

valeur qui sera effectivement très-petite, ou plutôt une très-petite partie de $z,$ lorsque la masse $\mu$ sera très-petite par rapport à $m.$ Nous aurons

(8)

$z={\frac {y-y'}{\alpha }}x+y'+{\frac {\mu (y-y')(x-\alpha )x}{6n\alpha ^{3}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right),$

pour la valeur correspondante de $z$.

Ce serait donc cette expression qu’il faudrait substituer à la place de $z$ dans le second membre de l’équation (4) ; mais on voit qu’elle ne satisfait pas à la condition $z=x$ quand $t=0,$ car pour cette valeur de $t$ on a $y'=0$ et $y=u,$ et par conséquent

$z=x+{\frac {\mu (x-\alpha )x}{6n\alpha ^{2}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right).$

Or cette valeur initiale de $z$ n’est point applicable à la question qui nous occupe elle suppose que les couches du fluide ont été déplacées suivant une certaine loi, ou, autrement dit, qu’elles ont été condensées et dilatées d’une certaine manière à l’origine du mouvement, ce qui n’a pas lieu dans le Problème du mouvementde la poudre réduite en gaz, où l’on suppose que la densité du fluide est constante dans toute sa longueur, et la même que celle de la poudre lorsqu’il commence à se mouvoir. La formule (8) est donc étrangère à la question ; mais je ferai voir tout à l’heure qu’on peut la compléter et la rendre applicable au mouvement du gaz de la-poudre, en supposant toujours la masse de ce fluide peu considérable par rapport à celle du projectile.

Cette formule se compose des deux premiers termes d’une série ordonnée suivant les puissances de $\mu ,$ qu’on peut représenter par

$z=\mathrm {Z+\mu Z'+\mu ^{2}Z''+\mu ^{3}Z'''} +\ldots .$