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précédent, que les nombres $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots$ seront toujours entiers lorsque $\mathrm {B}$ sera pair, mais qu’ils contiendront chacun la fraction ${\frac {1}{2}}$ lorsque $\mathrm {B}$ sera impair.

Donc, en continuant les deux séries $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ et $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,$ il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme $\mathrm {P} _{\varpi }$ et $\mathrm {Q} _{\varpi },$ reviendront après un certain intervalle de termes, dont le nombre pourra toujours être supposé pair ; car, comme il faut que les mêmes termes $\mathrm {P} _{\varpi }$ et $\mathrm {Q} _{\varpi },$ reviennent en même temps une infinité de fois, à cause que le nombre des termes différents dans l’une et l’autre série est limité, et par conséquent aussi le nombre de leurs combinaisons différentes, il est clair que, si ces deux termes revenaient toujours après un intervalle d’un nombre impair de termes, il n’y aurait qu’à considérer leurs retours alternativement, et alors les intervalles seraient tous composés d’un nombre pair de termes.

On aura donc, en dénotant par $2\rho$ le nombre des termes intermédiaires,

$\mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi },\quad {\text{et}}\quad Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} ,$

et alors tous les termes $\mathrm {P_{\varpi },P_{\varpi +1},P_{\varpi +2},\ldots ,Q_{\varpi },Q_{\varpi +1},Q_{\varpi +2}} ,\ldots ,$ et $\mu _{\varpi },\mu _{\varpi +1},\mu _{\varpi +2},\ldots$ reviendront aussi au bout de chaque intervalle de $2\rho$ termes ; car il est facile de voir, par les formules données dans le numéro précédent pour la détermination des nombres $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots ,$ $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots$ et $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,$ que, dès qu’on aura

$\mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi },\quad {\text{et}}\quad Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} ,$

on aura aussis

$\mu _{\varpi +2\rho }=\mu _{\varpi },$

ensuite

$\mathrm {Q_{\varpi +2\rho +1}=Q_{\varpi +1},\quad {\text{et}}\quad P_{\varpi +2\rho +1}=P_{\varpi +1}} \,;$

donc aussi

$\mu _{\varpi +2\rho +1}=\mu _{\varpi +1},$

et ainsi de suite.

Donc, si $\Pi$ est un nombre quelconque, égal ou plus grand que $\varpi ,$ et que $m$ dénote un nombre quelconque entier positif, on aura, en général,

$\mathrm {P_{\Pi +2m\rho }=P_{\Pi },\quad Q_{\Pi +2m\rho }=Q_{\Pi }} ,\quad \mu _{\Pi +2m\rho }=\mu _{\Pi }\,;$