Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/70

quantités, comme ${\frac {p_{3}}{q_{3}}}-a,$ qui sera $<a-b,$ abstraction faite du signe, et alors toutes les suivantes ${\frac {p_{4}}{q_{4}}}-a,\ {\frac {p_{5}}{q_{5}}}-a,\ldots$ le seront aussi ; de sorte que toutes les quantités $a-b+{\frac {p_{3}}{q_{3}}}-a,\ a-b+{\frac {p_{4}}{q_{4}}}-a,$ seront nécessairement de même signe que la quantité $a-b\,;$ par conséquent les quantités ${\frac {p_{3}}{q_{3}}}-b,$${\frac {p_{4}}{q_{4}}}-b,\ldots$ et celles-ci $p_{3}-bq_{3},\ p_{4}-bq_{4},\ldots$ à l’infini seront toutes de même signe ; donc les nombres $p_{3},p_{4},\ldots$ seront tous de signes alternatifs.

Supposons donc, en général, que l’on soit parvenu à des termes de signes alternatifs dans la série $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ et que $\mathrm {P} _{\lambda }$ soit le premier de ces termes, en sorte que tous les termes $\mathrm {P_{\lambda },P_{\lambda +1}P_{\lambda +2}} ,\ldots ,$ à l’infini, soient alternativement positifs et négatifs ; je dis qu’aucun de ces termes ne pourra être $>\mathrm {E} .$ Car si, par exemple, $\mathrm {P_{3},P_{4},P_{5}} ,\ldots$ sont tous de signes alternatifs, il est clair que les produits deux à deux, $\mathrm {P_{3}P_{4},\ P_{4}P_{5}} ,$ seront nécessairement tous négatifs ; mais on a (numéro précédent)

$\mathrm {Q_{4}^{2}-P_{3}P_{4}={\frac {1}{4}}E,\quad Q_{5}^{2}-P_{4}P_{5}={\frac {1}{4}}E} ,\quad \ldots \,;$

donc les nombres positifs $\mathrm {-P_{3}P_{4},-P_{4}P_{5}} ,\ldots$ seront tous moindres que ${\frac {1}{4}}\mathrm {E}$ ou au moins pas plus grands que ${\frac {1}{4}}\mathrm {E} \,;$ de sorte que, comme les nombres $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ sont d’ailleurs tous entiers par leur nature, les nombres $\mathrm {P_{3},P_{4}} ,\ldots$ et, en général, les nombres $\mathrm {P_{\lambda },P_{\lambda +1}} ,\ldots ,$ abstraction faite de leurs signes, ne pourront jamais surpasser le nombre $\mathrm {E} .$

Il s’ensuit aussi de là que les termes $\mathrm {Q_{4},Q_{5}} ,\ldots$ et, en général, $\mathrm {Q_{\lambda +1}Q_{\lambda +2}} ,\ldots$ ne pourront jamais être plus grand que ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} }}$

D’où il est facile de conclure que les deux séries $\mathrm {P_{\lambda },P_{\lambda +1},P_{\lambda +2}} ,\ldots ,$ et $\mathrm {Q_{\lambda +1},Q_{\lambda +2}} ,\ldots ,$ quoique poussées à l’infini, ne pourront être composées que d’un certain nombre de termes différents, ces termes ne pouvant être pour la première que les nombres naturels jusqu’à $\mathrm {E} ,$ pris positivement ou négativement, et, pour la seconde, les nombres naturels jusqu’à ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} }}$ avec les fractions intermédiaires ${\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots ,$ pris aussi positivement ou négativement ; car il est visible, par les formules du numéro