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rents. Supposons donc, par exemple, que $\mathrm {P} _{3}$ et $\mathrm {P} _{4}$ soient les deux premiers termes de cette qualité ; on aura nécessairement les deux quantités $p_{3}-bq_{3}$ et $p_{4}-bq_{4}$ de mêmes signes, à cause que les quantités $p_{3}-aq_{3}$ et $p_{4}-aq_{4}$ sont de leur nature de différents signes. Or, en mettant dans les quantités $p_{5}-aq_{5},\ p_{6}-aq_{6},\ldots$ les valeurs de $p_{5},p_{6},\ldots ,$ $q_{5},q_{6},\ldots$ (n^o 25), on aura

${\begin{aligned}&p_{5}-aq_{5}=\mu _{4}(p_{4}-bq_{4})+p_{3}-bq_{3},\\&p_{6}-aq_{6}=\mu _{5}(p_{5}-bq_{5})+p_{4}-bq_{4},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où, à cause que $\mu _{4},\mu _{5},\ldots$ sont des nombres positifs, il est clair que toutes les quantités $p_{5}-bq_{5},\ p_{6}-bq_{6},\ldots ,$ à l’infini, seront de mêmes signes que les quantités $p_{3}-bq_{3}$ et $p_{4}-bq_{4}\,;$ par conséquent tous les termes $\mathrm {P_{3},P_{4}} ,$$\mathrm {P_{5}} ,\ldots ,$ à l’infini, auront alternativement les signes $+$ et $-.$

Maintenant on aura par les équations précédentes

${\begin{aligned}&\mu _{4}={\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}}-{\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}},\\&\mu _{5}={\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}}-{\frac {p_{4}-bq_{4}}{p_{5}-bq_{5}}},\\&\mu _{6}={\frac {p_{7}-bq_{7}}{p_{6}-bq_{6}}}-{\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{6}-bq_{6}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où les quantités ${\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}},\ {\frac {p_{4}-bq_{4}}{p_{5}-bq_{5}}},\ldots$ seront toutes positives.

Donc, puisque les nombres $\mu _{4},\mu _{5},\mu _{6},\ldots$ doivent être tous entiers positifs (hypothèse), la quantité ${\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}}$ devra être positive et $>1,$ de même que les quantités ${\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}},\ {\frac {p_{7}-bq_{7}}{p_{6}-bq_{6}}},\ldots \,;$ donc les quantités ${\frac {p_{4}-bq_{4}}{p_{5}-bq_{5}}},$ ${\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{6}-bq_{6}}},$ $\ldots$ seront positives et moindres que l’unité ; de sorte que les nombres $\mu _{5},\mu _{6},\ldots$ ne pourront être que les nombres entiers qui sont