Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/74

immédiatement moindres que les valeurs de ${\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}},\ {\frac {p_{7}-bq_{7}}{p_{6}-bq_{6}}},\ldots \,;$ quant au nombre $\mu _{4},$ il sera aussi égal au nombre entier, qui est immédiatement moindre que la valeur de ${\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}},$ toutes les fois qu’on aura ${\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}}<1.$

Ainsi l’on aura

${\begin{aligned}&\mu _{4}<{\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}},\quad {\text{si}}\quad {\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}}<1,\\&\mu _{5}<{\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}},\\&\mu _{6}<{\frac {p_{7}-bq_{7}}{p_{6}-bq_{6}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

le signe $<$ placé après les nombres $\mu _{3},\mu _{4},\mu _{5},\ldots$ dénotant, comme plus haut, les nombres entiers qui sont immédiatement au-dessous des quantités qui suivent ce même signe.

Or il est facile de transformer, par des réductions semblables à celles du n^o 33, les quantités ${\frac {p_{5}-bq_{5}}{p_{4}-bq_{4}}},\ {\frac {p_{6}-bq_{6}}{p_{5}-bq_{5}}},\ldots$ en celles-ci $\mathrm {\frac {Q_{5}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{4}}} ,$ $\mathrm {\frac {Q_{6}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{5}}} ,\ldots \,;$ de plus, la condition de ${\frac {p_{3}-bq_{3}}{p_{4}-bq_{4}}}<1$ peut se réduire à celle-ci $\mathrm {\frac {-P_{3}}{P_{4}}} <{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{4}-aq_{4}}},$ laquelle, à cause de ${\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{4}-aq_{4}}}>1,$ aura sûrement lieu lorsqu’on aura $\mathrm {\frac {-P_{3}}{P_{4}}} =$ ou $<1\,;$ donc on aura

${\begin{aligned}&\mu _{4}<\mathrm {\frac {Q_{5}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{4}}} ,\quad {\text{si}}\quad \mathrm {\frac {-P_{3}}{P_{4}}} =\ {\text{ou}}\ <1,\\&\mu _{5}<\mathrm {\frac {Q_{6}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{5}}} ,\\&\mu _{6}<\mathrm {\frac {Q_{7}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{P_{6}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

En combinant ces formules avec celles du n^o 33, qui renferment la loi des séries $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ et $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,$ on verra aisément que, si