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Ainsi l’on aura, par exemple,

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}=&1+{\frac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}},\\{\sqrt {3}}=&1+{\frac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}},\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Et, si l’on forme les fractions convergentes ${\frac {p_{0}}{q_{0}}},{\frac {p_{1}}{q_{1}}},{\frac {p_{2}}{q_{2}}},{\frac {p_{3}}{q_{3}}},\ldots$ d’après chacune de ces fractions continues, on aura

$p_{0}^{2}-2q_{0}^{2}=1,\quad p_{1}^{2}-2q_{1}^{2}=-1,\quad p_{2}^{2}-2q_{2}^{2}=1,\quad \ldots ,$

et de même

$p_{0}^{2}-3q_{0}^{2}=1,\quad p_{1}^{2}-3q_{1}^{2}=-1,\quad p_{2}^{2}-3q_{2}^{2}=1,\quad \ldots .$

§ III. — Sur la résolution des équations du premier degré
à deux inconnues en nombres entiers.

(Addition pour le Chapitre I).

42. Lorsqu’on a à résoudre une équation de cette forme

$ax-by=c,$

où $a,b,c$ sont des nombres entiers donnés positifs ou négatifs, et où les deux inconnues $x$ et $y$ doivent être aussi des nombres entiers, il suffit de connaître une seule solution pour pouvoir en déduire facilement toutes les autres solutions possibles.

En effet, supposons que l’on sache que ces valeurs $x=\alpha$ et $y=\beta$ satisfont à l’équation proposée, $\alpha$ et $\beta$ étant des nombres entiers quelconques ; on aura donc

$a\alpha -b\beta =c,$