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et par conséquent

$ax-by=a\alpha -b\beta ,$

ou bien

$a(x-\alpha )-b(y-\beta )=0\,;$

d’où l’on tire

${\frac {x-\alpha }{y-\beta }}={\frac {b}{a}}.$

Qu’on réduise la fraction ${\frac {b}{a}}$ à ses moindres termes, et supposant qu’elle se change par là en celle-ci ${\frac {b_{1}}{a_{1}}},$ où $b_{1}$ et $a_{1}$ seront premiers entre eux, il est visible que l’équation

${\frac {x-\alpha }{y-\beta }}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}$

ne saurait subsister dans la supposition que $x-\alpha$ et $y-\beta$ soient des nombres entiers, à moins que l’on ait

$x-\alpha =mb_{1},\quad y-\beta =ma_{1},$

$m$ étant un nombre quelconque entier ; de sorte que l’on aura, en général,

$x=\alpha +mb_{1},\quad y=\beta +ma_{1},$

$m$ étant un nombre entier indéterminé.

Comme on peut prendre $m$ positif ou négatif à volonté, il est facile de voir qu’on pourra toujours déterminer ce nombre $m,$ en sorte que la valeur de $x$ ne soit pas plus grande que ${\frac {b_{1}}{2}},$ ou que celle de $y$ ne soit pas plus grande que ${\frac {a_{1}}{2}}$ (abstraction faite des signes de ces quantités) ; d’où il s’ensuit que, si l’équation proposée

$ax-by=c$

est résoluble en nombres entiers, et qu’on y substitue successivement à