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la place de $x$ tous les nombres entiers, tant positifs que négatifs, renfermés entre ces deux limites ${\frac {b_{1}}{2}}$ et ${\frac {-b_{1}}{2}},$ on en trouvera nécessairement un qui satisfera à cette équation ; et l’on trouvera de même une valeur satisfaisante de $y$ parmi les nombres entiers positifs ou négatifs, contenus entre les limites et ${\frac {a_{1}}{2}}$ et ${\frac {-a_{1}}{2}}.$

Ainsi l’on pourra par ce moyen trouver une première solution de la proposée, après quoi on aura toutes les autres par les formules ci-dessus.

43. Mais si l’on ne veut pas employer la méthode de tâtonnement que nous venons de proposer, et qui serait souvent très-laborieuse, on pourra faire usage de celle qui est exposée dans le Chapitre I^er du Traité précédent, et qui est très-simple et très-directe, ou bien on pourra s’y prendre de la manière suivante.

On remarquera :

1^o Que, si les nombres $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, l’équation ne pourra subsister en nombres entiers, à moins que le nombre donné $c$ ne soit divisible par la plus grande commune mesure de $a$ et $b\,;$ de sorte qu’en supposant la division faite lorsqu’elle a lieu, et désignant les quotients par $a_{1},b_{1}c_{1},$ on aura à résoudre l’équation

$a_{1}x-b_{1}y=c_{1},$

où $a_{1}$ et $b_{1}$ seront premiers entre eux.

2^o Que, si l’on peut trouver des valeurs de $p$ et de $q$ qui satisfassent à l’équation

$a_{1}p-b_{1}q=\pm 1,$

on pourra résoudre l’équation précédente ; car il est visible qu’en multipliant ces valeurs par $\pm c_{1},$ on aura des valeurs qui satisferônt à l’équation

$a_{1}x-b_{1}y=c_{1}\,;$

c’est-à-dire qu’on aura.

$x=\pm pc_{1},\quad y=\pm qc_{1}.$