les puissances seront de fort petites quantités auprès de par conséquent, les termes affectés de ces puissances seront eux-mêmes nécessairement très-petits à l’égard des premiers termes puisque, les coefficients ne peuvent jamais devenir fort grands, étant des fonctions sans dénominateur ; ainsi, en réduisant toute l’équation à ces deux termes, on en tirera une valeur approchée de qui sera Appelons cette valeur approchée de on pourra faire par la même raison, dans l’équation en la substitution de à la place de et négliger ensuite dans la transformée en les termes qui contiendront le carré et les puissances plus hautes de cette transformée, étant ainsi réduite aux deux premiers termes de la forme donnera sur-le-champ Cette quantité étant nommée on substituera à la place de dans la dernière transformée, et l’on en aura une nouvelle en d’où l’on tirera de même la valeur de et ainsi de suite.
De cette manière, on aura les approximations vers la vraie valeur de la racine cherchée.
2. Voilà la méthode telle que Newton l’a donnée dans la Méthode des fluxions ; mais il est hon de remarquer qu’on peut se dispenser de faire continuellement de nouvelles transformées, car, puisque la transformée en est le résultat de la substitution de au lieu de dans l’équation en et que la transformée en est le résultat de la substitution de au lieu de dans la transformée en il s’ensuit que cette transformée en sera le résultat de la substitution immédiate de à la place de dans la même équation en par conséquent, elle ne sera autre chose que la première transformée en en y changeant en et en d’où il s’ensuit qu’ayant trouvé l’expression générale de en on aura celle de en y substituant au lieu de et par la même raison on aura la valeur de en substituant au lieu de et ainsi de suite.
Donc, en général, si dans l’expression de en on substitue pour
