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un terme quelconque de la suite convergente vers la racine cherchée, on aura la quantité qu’il faudra ajouter à ce terme pour avoir le terme suivant.

La méthode qui résulte de cette considération est, comme l’on voit, plus simple que celle de Newton c’est celle que Raphson a donnée dans l’Ouvrage intitulé Analysis æquationum universalis, imprimé à Londres en 1690 et réimprimé en 1697. Comme la méthode de Newton avait déjà paru dans l’édition anglaise de l’Algèbre de Wallis en 1685, et qu’elle a été ensuite expliquée en détail dans l’édition latine de 1793, on peut être surpris que Raphson n’en ait pas fait mention dans son Ouvrage, ce qui porterait à croire qu’il la regardait comme entièrement différente de la sienne ; c’est pourquoi j’ai cru qu’il n’était pas inutile de faire remarquer que ces deux méthodes ne sont au fond que la même présentée différemment.

3. Maintenant il est clair que la bonté de la méthode dont il s’agit dépend de cette condition que, si $a$ est une valeur approchée d’une des racines de l’équation proposée, $a+p$ sera une valeur plus approchée de la même racine ; c’est donc ce qu’il faut examiner.

Soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les $m$ racines de l’équation

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\ldots =0\,;$

cette équation, comme on l’a vu dans la Note II, peut-toujours se mettre sous la forme

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots =0.$

Mettons $a+p$ à la place de $x,$ et développons les termes suivant les puissances de $p\,;$ on trouvera, pour les deux premiers termes $\mathrm {X+Y} p,$ ces valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&(a-\alpha )(a-\beta )(a-\gamma )\ldots ,\\\mathrm {Y} =&(a-\beta )(a-\gamma )\ldots +(a-\alpha )(a-\gamma )\ldots +(a-\alpha )(a-\beta )\ldots +\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {\frac {Y}{X}} ={\frac {1}{a-\alpha }}+{\frac {1}{a-\beta }}+{\frac {1}{a-\gamma }}+\ldots .$