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ce détail sur la méthode d’approximation tirée des séries récurrentes que pour ne rien laisser à désirer sur le sujet dont il s’agit.

8. Si l’on veut appliquer la méthode précédente à l’exemple de Newton, on prendra d’abord la transformée (Note précédente)

$p^{3}+6p^{2}+10p-1\,;$

et, comme on sait que la racine réelle est moindre que $0{,}1,$ il s’ensuit que le produit des deux autres racines, qu’on sait être imaginaires, sera $>{\frac {1}{0{,}1}}>10,$ puisque le dernier terme $1$ est le produit des trois racines ; ainsi l’on est assuré que le carré de la racine cherchée est beaucoup moindre que le produit des deux racines imaginaires. On formera donc la série récurrente par le moyen de la fraction ${\frac {10+12p+3p^{2}}{1-10p-6p^{2}-p^{3}}},$ et l’on aura les termes

$10,\ \ 112,\ \ 1183,\ \ 12512,\ \ 132330,\ \ \ldots ,$

qu’on peut continuer aussi loin qu’on veut par l’échelle de relation $10,\ 6,\ 1\,;$ chacun de ces termes, divisé par le suivant, donnera les fractions

${\frac {10}{112}},\quad {\frac {112}{1183}},\quad {\frac {1183}{12512}},\quad \ldots ,$

qui, étant réduites en décimales, deviennent

$0{,}089,\ \ \quad 0{,}09467,\ \ \quad 0{,}094549,\ \ \quad 0{,}0945515,\ \ \ldots .$

Or, nous avons vu dans la Note précédente que la méthode de Newton donne pour la valeur de $p$ la série convergente

$0{,}1,\quad 0{,}946,\quad 0{,}09455147,\quad \ldots ,$

d’où l’on peut juger de l’accord des deux méthodes. En effet, nous ferons voir plus bas que ces méthodes, quoique fondées sur des principes différents, reviennent à peu près au même dans le fond et donnent des résultats semblables.