Ces formules renferment la loi des sommes des puissances réciproques des racines.
Il est évident que, si est la plus petite racine, soit positive ou négative, les puissances surpasseront d’autant plus la somme des pareilles puissances des autres racines, que sera plus petite que chacune des autres racines Par conséquent, si et sont deux termes consécutifs de la série le quotient approchera d’autant plus de la valeur de la plus petite racine réelle de l’équation, que ces termes seront plus éloignés du commencement de la série. Ainsi cette série servira à trouver la plus petite racine, comme la première sert à trouver la plus grande ; et, à l’égard des racines imaginaires, on prouvera de la même manière qu’elles n’empêcheront pas l’approximation vers la plus petite racine réelle, pourvu que le carré de cette racine soit en même temps plus petit que chacun des produits réels des racines imaginaires correspondantes.
7. On pourrait donc employer cette méthode d’approximation pour chacune des racines réelles d’une équation quelconque si l’on connaissait d’avance une valeur approchée de cette racine, telle que la différence entre cette valeur et la vraie valeur de la racine fût moindre en quantité, c’est-à-dire abstraction faite des signes, que la différence entre la même valeur et chacune des autres racines réelles, et en même temps moindre que la racine carrée de chacun des produits des racines imaginaires correspondantes, s’il y en diminuées de la même valeur ; car alors, en nommant la valeur approchée de la racine cherchée et faisant on aura une transformée en dont la plus petite racine pourra se déterminer par la méthode précédente, et cette racine, jointe à la première valeur approchée, donnera la racine cherchée. Mais on ne saurait trouver les premières valeurs qu’en faisant usage des méthodes que nous avons données, et, ces valeurs étant une fois connues, il est bien plus exact d’employer la méthode d’approximation du Chapitre III ; aussi ne suis-je entré dans
