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2. Pour donner une idée plus nette de ce que je viens de dire à ceux qui ne sont pas à portée de consulter le Recueil des Mémoires de Fontaine, je vais rapporter ici la Table des équations du second degré, avec un précis de la méthode par laquelle l’Auteur l’a construite ; ensuite je ferai quelques remarques sur cette méthode.

Dans les formules suivantes, les lettres $m,n$ et $a,b$ désignent des nombres ou des quantités quelconques positives, et l’on suppose que $a$ est toujours une quantité plus grande que $b$.

$x^{2}+mx+n=\left\{{\begin{aligned}&(x+a)(x+a)\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..m^{2}-4n=0\\&\left(x+a+a{\sqrt {-1}}\right)\left(x+a-a{\sqrt {-1}}\right)\ldots .\,m^{2}-2n=0\\&(x+a)(x+b)..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,m^{2}-4n>0\\&\left(x+a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x+a-b{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left\{{\begin{aligned}&m^{2}-4n<0\\&m^{2}-2n>0\end{aligned}}\right.\\&\left(x+b+a{\sqrt {-1}}\right)\left(x+b-a{\sqrt {-1}}\right)\ldots ..m^{2}-2n<0,\end{aligned}}\right.$

$x^{2}+mx-n=\quad (x+a)(x-b),$

$x^{2}-mx+n=\left\{{\begin{aligned}&(x-a)(x-a)\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..m^{2}-4n=0\\&\left(x-a+a{\sqrt {-1}}\right)\left(x-a-a{\sqrt {-1}}\right)\ldots .\ m^{2}-2n=0\\&(x-a)(x-b)\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..m^{2}-4n>0\\&\left(x-a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x-a-b{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left\{{\begin{aligned}&m^{2}-4n<0\\&m^{2}-2n>0\end{aligned}}\right.\\&\left(x-b+a{\sqrt {-1}}\right)\left(x-b-a{\sqrt {-1}}\right)\ldots ..m^{2}-2n<0,\end{aligned}}\right.$

$x^{2}-mx-n\,=\quad (x-a)(x+b),$

$x^{2}+n\qquad \ \ \ =\quad \left(x+a{\sqrt {-1}}\right)\left(x-a{\sqrt {-1}}\right),$

$x^{2}-n\qquad \ \ \ =\quad (x+a)(x-a).$

On voit d’abord dans cette Table toutes les combinaisons possibles des différents facteurs, qui ne peuvent être ici que

$x\pm a,\quad x\pm b,\quad {\text{ou}}\quad x\pm a\pm a{\sqrt {-1}},\quad x\pm a\pm b{\sqrt {-1}},\quad {\text{et}}\quad x\pm b\pm a{\sqrt {-1}}.$

Pour savoir à quelle forme d’équations chaque combinaison pouvait se rapporter, on a développé les produits et on les a comparés aux