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là, ne le sera plus dans ces deux-ci et l’on trouve que cette fonction est positive pour le système $(x+a)(x+b)$ et négative pour le système $\left(x+a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x+a-b{\sqrt {-1}}\right).$

L’Auteur suppose comme un principe général que la fonction qui est nulle dans le cas de la coïncidence de deux systèmes sera toujours plus grande que zéro dans l’un et moindre que zéro dans l’autre, et il détermine par un exemple particulier celui des systèmes où elle est positive et celui où elle est négative ; mais cette proposition ne peut pas être admise sans démonstration, et il y a même de fortes raisons de douter qu’elle soit vraie en général.

Dans les cas dont il s’agit, on en peut prouver la vérité, car le système $(x+a)(x+b),$ étant développé, donne

$x^{2}+(a+b)x+ab\,;$

donc $m=a+b,\ n=ab,$ et par conséquent

$m^{2}-4n=(a-b)^{2},$

quantité toujours positive. De même, le système

$\left(x+a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x+a-b{\sqrt {-1}}\right)=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}$

donne $m=2a,\ n=a^{2}+b^{2},$ et

$m^{2}-4n=-4b^{2},$

quantité toujours négative. On peut démontrer de la même manière les autres conditions pour les différents systèmes des équations du second degré.

3. L’Auteur a appliqué les mêmes principes et la même méthode aux équations du troisième et du quatrième degré, et il a donné pour ces degrés des Tables semblables à celle que nous venons de rapporter. (Voir le Recueil de ses Mémoires, imprimé en 1764.)

L’étendue de ces Tables augmente en proportion du nombre des combinaisons des différents facteurs, et la recherche des conditions