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nécessairement des fonctions qui aient ces propriétés ; ainsi la théorie peut être aussi en défaut de ce côté.

4. Au reste, on peut trouver directement les conditions précédentes, car, si l’on suppose que l’équation

$x^{3}+mx^{2}+nx+p=0$

ait un facteur double $(x+\alpha )^{2},$ il n’y aura qu’à diviser le polynôme $x^{3}+mx^{2}+nx+p$ par $x^{2}+2\alpha x+\alpha ^{2}\,;$ on trouvera le quotient $x+m-2\alpha$ et le reste

$\left(n-\alpha ^{2}-2m\alpha +4\alpha ^{2}\right)x+p+2\alpha ^{3}-m\alpha ^{2}\,;$

alors il faudra faire séparément

${\begin{aligned}3\alpha ^{2}-2m\alpha +n=&0,\\2\alpha ^{3}-m\alpha ^{2}+p=&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\alpha ={\frac {mn-9p}{2m^{2}-6n}}.$

Cette valeur, substituée dans la première équation, donne

$(mn-9p)^{2}+4\left(m^{2}-3n\right)\left(3mp-n^{2}\right)=0,$

ce qui est la condition commune aux deux systèmes.

Maintenant, comme le quotient $x+m-2\alpha$ forme le facteur inégal de l’équation, on fera

${\begin{array}{llll}\alpha =b,&m-2\alpha =a,&\mathrm {pour\ le\ syst{\grave {e}}me} ,&(x+a)(x+b)(x+b),\\\alpha =a,&m-2\alpha =b,&\mathrm {pour\ le\ syst{\grave {e}}me} ,&(x+a)(x+a)(x+b)\,;\end{array}}$

donc, puisque par l’hypothèse $a>b,$ on aura

${\begin{array}{llll}m-2\alpha >\alpha ,&{\text{ou}}&m-3\alpha >0&\mathrm {pour\ le\ premier\ syst{\grave {e}}me} ,\\&&m-3\alpha <0&\mathrm {pour\ le\ second\ syst{\grave {e}}me} .\end{array}}$