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Mais, en substituant la valeur de $\alpha$, on a

$m-3\alpha ={\frac {2m^{3}-9mn+27p}{m^{2}-3n}}\,;$

d’un autre côté, il est facile de s’assurer que, pour les deux systèmes, on a

$m^{2}-3n>0,$

car le système $(x+a)(x+b)(x+b)$ donne

$m=a+2b,\quad n=2ab+b^{2},$

comme il résulte du développement ; donc

$m^{2}-3n=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\,;$

et, comme pour l’autre système il n’y a qu’à changer $a$ en $b,$ on aura de même

$m^{2}-3n=(a-b)^{2}.$

Donc les conditions pour les deux systèmes seront simplement

${\begin{aligned}2m^{3}-9mn+27p>0&\quad {\text{pour le premier}},\\2m^{3}-9mn+27p<0&\quad {\text{pour le second}},\end{aligned}}$

comme Fontaine l’a trouvé.

5. Mais les conditions mêmes qui résultent de l’égalité de quelques-unes des quantités $a,b,c,\ldots$, ne sont pas toujours particulières aux systèmes dans lesquels ces égalités ont lieu, comme Fontaine le suppose, ce qui détruit un des principaux fondements de sa théorie.

Par exemple, il trouve dans le troisième degré que, pour l’équation

$x^{3}+mx^{2}-nx-p=0,$

la condition

$2m^{3}-mn-p=0$

est particulière au système

$(x-a)\left(x+a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x+a-b{\sqrt {-1}}\right)$