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équations ont des racines positives dont la moindre différence est plus, grande que l’unité. D’après cette considération, il est facile de trouver des exemples où la méthode de Fontaine sera en défaut.

Soit, par exemple, l’équation

$x^{3}+2x^{2}-23x+60=0,$

qui se rapporte à la formule $x^{3}-mx^{2}-nx+p,$ en faisant $m=2,$ $n=23,\ p=60.$ La Table de la page 547 du Recueil des Mémoires de Fontaine donne ces trois conditions

$4\left(m^{2}+3n^{2}\right)\left(n^{2}+3mp\right)-(-mn+9p)^{2}>0,\quad mn-p<0,\quad m^{2}-n<0$

pour le système

$(x+a)(x-b)(x-c),$

lesquelles se trouvant remplies ici, il s’ensuit que ce système est celui de l’équation proposée.

Pour trouver les trois quantités positives et inégales $a,b,c,\ldots ,$, on comparera le produit des facteurs

$x^{3}+(a-b-c)x^{2}+(-ab-ac+bc)x+abc$

avec l’équation donnée ; on aura ces trois équations

$a-b-c=-2,\quad -ab-ac+bc=-23,\quad abc=60.$

Éliminant $c,$ on aura $c=a-b+2,$ et les deux autres équations deviendront :

$a^{2}-ab+b^{2}+2(a-b)=23,$

$(a-b)ab+2ab=60\,;$

et, faisant $a=\mathrm {R} \alpha ,\ b=\mathrm {R} \beta ,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {R} ^{2}\left(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}\right)+2\mathrm {R} (\alpha -\beta )=23,\\&\mathrm {R} ^{3}(\alpha -\beta )\alpha \beta +2\mathrm {R} ^{2}\alpha \beta =60.\end{aligned}}$

Enfin, éliminant $\mathrm {R} ,$ on aura une équation homogène du sixième degré en $\alpha$ et $\beta ,$ réductible à cette forme

$\left[20\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)-41\alpha \beta \right]\left[15\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)-34\alpha \beta \right]\left[12\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+25\alpha \beta \right]=0.$